三重积分如图 中间的“利用对称性”能详细点吗?
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发布时间：2023-07-21 09:02
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时间：2024-01-31 02:55
1.∫∫∫x^2dxdydz=∫{1,4}dz∫∫{Dz}x^2dxdy
∫∫∫y^2dxdydz=∫{1,4}dz∫∫{Dz}y^2dxdy
∵Dz是一个圆形区域
∴∫∫{Dz}x^2dxdy=∫∫{Dz}y^2dxdy
∴∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫y^2dxdydz
2∫∫∫x^2dxdydz=∫∫∫x^2dxdydz+∫∫∫y^2dxdydz
=∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
∴∫∫∫x^2dxdydz=1/2*∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz
2.至于∫∫∫x*y^2*sin√(x^2+y^2)dxdydz
其中的x为奇函数，所以x*y^2*sin√(x^2+y^2)为奇函数
根据对称区间的定积分可知，被积函数为奇函数时，积分为零
∴∫∫∫x*y^2*sin√(x^2+y^2)dxdydz=0
