抛物线对称轴上是否存在点P,使三角形PAC周长最小

发布网友 发布时间：2023-07-19 02:01

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热心网友 时间：2024-11-29 19:10

解：对称轴为x=1，B(3,0) 则A(-1,0) ∴|AC|=√[(0+1)²+(-3-0)²]=√10 △PAC周长=|AC|+|PA|+|PC| 而|AC|=√10，为定值 要求△PAC周长的最小值，只需求|PA|+|PC|的最小值 即P到A、C两点的距离之和最小 可做A关于x=1的对称点A`，连接A`C，与x=1的交点即为所求P 易得，A`与B重合，所以A`(3,0) 则BC直线的方程为x/3+y/-3=1，即y=-x+3 令x=1，得y=2 ∴P(1,2) 追问： 则BC直线的方程为x/3+y/-3=1，即y=-x+3 令x=1，得y=2 ∴P(1,2) 则BC直线的方程为y=x-3 当X=1时 得Y=2 ∴p（1,2）

热心网友 时间：2024-11-29 19:11

平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。[1]
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图像。
中文名
抛物线
外文名
Parabola
别 称
圆锥抛物线曲线
表达式
y=ax^2+bx+c
提出者
阿波罗·尼奥斯（Apollonius）
提出时间
古希腊时代
应用学科
数学
适用领域范围
解析几何
适用领域范围
函数
目录
1发展历程
2标准方程
▪ 标准方程
▪ 特点
▪ 四种方程
▪ 切线方程
3相关参数
4术语解释
5解析式求法
6光学性质
7准线式方程
8扩展公式
9二次函数图象
10相关结论

1发展历程编辑
Apollonius 所著的八册《圆锥曲线》(Conics)集其大成
抛物线问题
，可以说是古希腊解析几何学一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的 ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是 Apollonius 所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演着重要的角色。

2标准方程编辑
标准方程
右开口抛物线：y2=2px
抛物线
左开口抛物线：y2= -2px
上开口抛物线：x2=2py
下开口抛物线：x2=-2py
[p为焦准距（p>0）]
特点
在抛物线y2=2px中，焦点是(p/2，0），准线的方程是x= -p/2，离心率e=1，范围：x≥0；

在抛物线y2= -2px 中，焦点是( -p/2，0），准线的方程是x=p/2，离心率e=1，范围：x≤0；
在抛物线x2=2py 中，焦点是（0，p/2），准线的方程是y= -p/2,离心率e=1，范围：y≥0；
在抛物线x2= -2py中，焦点是（0，-p/2），准线的方程是y=p/2，离心率e=1，范围：y≤0；
四种方程
抛物线四种方程的异同
共同点：
①原点在抛物线上； ②对称轴为坐标轴；
③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4
不同点：
①对称轴为x轴时，方程右端为±2px，方程的左端为y^2；对称轴为y轴时，方程的右端为±2py，方程的左端为x^2；
②开口方向与x轴（或y轴）的正半轴相同时，焦点在x轴（y轴）的正半轴上，方程的右端取正号；开口方向与x（或y轴）的负半轴相同时，焦点在x轴（或y轴）的负半轴上，方程的右端取负号。[2]
切线方程
抛物线y2=2px上一点（x0,y0)处的切线方程为：yoy=p(x+x0)
抛物线y2=2px上过焦点斜率为k的切线方程为：y=kx-p/2k