偶函数的奇数项系数等于0?

发布网友发布时间：2023-07-18 14:00

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热心网友时间：2024-10-20 15:04

命题不严谨，应该说“若多项式是偶函数，那么奇数项系数等于零”
证明：设多项式f（x）=a0+a1*x+a2*x^2+a3*x^3+……an*x^n 【a0,a1,a2...an中的1，2，。。。n是小标】
函数是偶函数，则f（x）=f（-x），带入化简得
a1*x+a3*x^3+……a(2k+1)*a^(2k+1)=0 【其中2k+1=n或n-1，若n为偶数，2k+1=n-1，若为奇数2k+1=n】
即 x[1+a3*x^2+……a(2k+1)*x^2k]0,方程对于任意实数都成立，则有a1+a3*x^2+……a(2k+1)*x^2k=0,令x=0带入，的a1=0.

以此类推，得出a3=0，a5=0。。。。。。
命题的证。

热心网友时间：2024-10-20 15:05

f(-x)=f(x)
f(x)=a1x+a2x^2+……+anx^n+c
a1,a3……，c为偶数项的系数
f(-x)=-a1x+a2x^2-a3x+……+c=f(x)=a1x+a2x^2+a3x^3+……+c
有：a1=a3=……=0
得证。