等底等高的圆柱与圆锥,为什么圆柱的体积是圆锥的1/3?
发布网友
发布时间：2022-04-25 00:37
共2个回答
热心网友
时间：2023-10-17 21:22
"一个圆柱的体积等底等高圆锥体积的3倍"这个定理,属于高中立体几何范畴的问题,要从几何学理论来证明,其过程较为复杂(相对而言).
所以小学里是用物理实验的方法来证明,就是用铁皮分别做一个圆锥体和一个圆柱体,并且使它们等底等高,然后把圆锥体(底面不封死)倒过来,盛满水,到入圆柱体(两个底面封住其中一面)内,这样反复三次,结果水刚刚倒满圆柱体,通过这个实际操作证明"3个圆锥体的体积(容积)等于等底等高圆柱体积",进一步引申并证明"一个圆柱的体积等底等高圆锥体积的3倍"或其逆定理.
对中,小学生来说,这个实际操作的证明过程,简单,实用,直观,容易理解.
而从数学理论去证明繁杂而枯燥,当然枯燥也要进行,谁让你是高中呢?
高中方法
证明：
把圆锥沿高分成k分
每份高 h/k,
第 n份半径：n*r/k
第 n份底面积：pi*n^2*r^2/k^2
第 n份体积：pi*h*n^2*r^2/k^3
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
因为
1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2=k*(k+1)*(2k+1)/6
所以
总体积(1+2+3+4+5+...+n)份:pi*h*(1^2+2^2+3^2+4^2+...+k^2)*r^2/k^3
=pi*h*r^2* k*(k+1)*(2k+1)/6k^3
=pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6
因为当n越来越大，总体积越接近于圆锥体积，1/k越接近于0
所以pi*h*r^2*(1+1/k)*(2+1/k)/6=pi*h*r^2/3
因为V柱=pi*h*r^2
所以
V锥是与它等底等高的V柱体积的1/3
热心网友
时间：2023-10-17 21:23
