给定一个圆,如何只用直尺作出一个60°角?

发布网友 发布时间：2023-07-15 19:04

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热心网友 时间：2024-01-04 13:30

(一)首先证明：利用直尺和给定圆心的圆，可以做出经过已知点的某一直线的平行线

(1)先证明：已知线段及其中点，利用直尺可以做出经过某已知点且与该线段平行的直线

如图，假设AB为给定线段，C为其中点，P为已知点，现在要过P作AB平行线

①连接AP并延长，在延长线上任取点Q

②连接PB、QC、QB，PB与QC的交点记为R

③连接AR并延长，与QB的交点记为S，则PS∥AB

证明：在△ABQ中应用塞瓦定理，有(QP/PA)·(AC/CB)·(BS/SQ)=1，即QP/PA=SQ/BS，于是PS∥AB

(2)接着证明：仅仅给定一条直线，利用直尺和给定圆心的圆，可以经过P作出AB平行线

如图，假设AB所在的直线是给定的直线，现在要过P作AB所在直线的平行线

①在直线上任取一点C，连接CO并延长，与圆的两个交点分别为D、E。

②在圆上任取F点，已知线段DE，以及DE的中点O，根据上边的方法，利用直尺经过点F和点G，分别可以作出线段DE的平行线，两平行线与已知的直线交点记为A和B

③利用上边的方法，经过点P作出线段AB的平行线

至此可以得出结论，利用直尺和给定圆心的圆，可以做出经过已知点的某一直线的平行线，以下直接利用这个结论而省略这个步骤的作图过程。

(二)本题作图过程

如图，已知圆O。

①在圆外任意作条直线，并在直线上任取一点C，连接CO

②在圆上任取一条直径AB，并在圆上任取一点D，连接DO并延长，与圆交于点M

③分别过D、M作CO的平行线，分别与直线交于点E、F，易知C是EF中点，连接FO

④过F作AB平行线，过A作FO平行线，两平行线交于点G，连接EG、FG

⑤过C作EG平行线，与FG交于点H，则易知H是GF中点

⑥过H作FO平行线，与AB交于点I，则I是AO中点

⑦过D作AB平行线，与圆交于点J

⑧分别连接AD、BJ并延长，二者交于点K，连接KO

⑨过I作KO的平行线，与圆交于点L

⑩连接AL、OL，则△ALO为正三角形，其每个内角都为60°

证明：

以上作图过程可知I是AO中点

由于DJ∥AB，易知AD=BJ，进而∠DAB=∠JBA，进而△KAB为等腰三角形

于是KO⊥AB。由于IL∥KO，故IL⊥AB。由于IL垂直平分AO，于是OL=AL

从而△ALO为正三角形。

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