求以下高数题的答案及过程

发布网友发布时间：2023-07-15 13:16

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热心网友时间：2024-04-23 10:17

　　解：第1题，∵y与x轴的交点为(1,0)，∴1≤x≤e^2。∴所求面积S=∫(1,e^2)lnxdx/√x=2(√x)(lnx-2)丨(x=1,e^2)=4。
　　第2题，∵y=1时，x=e，画草图可知，所求面积S=∫(1,e)(1-lnx)dx+∫(e,e^2)(lnx-1)dx。
　　而∫(1-lnx)dx=x(2-lnx)+C，∴S=x(2-lnx)丨(x=1,e)+x(-2+lnx)丨(x=e,e^2)=2(e-1)。
　　第3题，设切点为(t，√t)，则过切点直线斜率k=y'丨(x=t)=(1/2)/√x丨(x=t)=(1/2)/√t，
　　∴切线L的方程为y=k(x-t)+√t=kx+(√t)/2。∴所求面积S=∫(0,2)[kx+(√t)/2-lnx]dx=1/√t+√t-2(ln2-1)。
　　由S对t求导，并令其为0，易得t=1时，S有最小值。∴切线L的方程为y=(x+1)/2。
　　第4题，设切点为(t，sint)，∵在切点直线的斜率k=y'丨(x=t)=cosx丨(x=t)=cost，
　　∴切线的方程为y=k(x-t)+sint=kx+sint-kt。∴所求面积S=∫(0,π)(kx+sint-kt-sinx)dx=(π^2/2)cost+π(sint-tcost)-2。
　　由S对t求导，并令其为0，有sint(t-π/2)=0，得t=π/2时，S有最小值。∴切线方程为y=1。
　　供参考。