请教一个关于无平方项的二次型化标准型的问题

发布网友发布时间：2023-07-18 05:20

共3个回答

热心网友时间：2023-12-12 16:18

这是书上用配方法将二次型标准化的第二种题型
通过可逆线性变换可以将不含平方向的二次型化为含平方项的二次型（也就变成了用配方法标准化的原始形式, 其实就是为了使用配方法才这么化的）
因为将二次型标准化的本质就是
通过可逆线性变换 x=py 将 x的二次型f=xTAx化为 y的二次型f=yT∧y ，其中 ∧=pTAp

把 x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3 写成矩阵型式，实际上相当于
【1 1 0
（x1,x2,x3）T= 1 -1 0 * （y1,y2,y3）T
0 0 1 】

本题中 x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3 相当于先对x做一次可逆线性变换得到 y 进而对y再做可逆线性变换 ,使得含有y的二次型为标准型

x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3 其实就是一次过渡的可逆线性变换
f=xTAx化为 y的二次型f=yTBy 再将f=yTBy 通过一次可逆线性变换化为 z的二次型f=zT∧z
其中 ∧ 为对角阵

热心网友时间：2023-12-12 16:18

目标是先凑出平方项
原理是 x1x2 = (y1+y2)(y1-y2) = y1^2-y2^2追问那具体步骤是什么呢？

追答x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3

代入原式, 按有平方项处理
f = 2(y1+y2)(y1-y2) + 4(y1+y2)y3

= 2y1^2 - 2y2^2 + 4y1y3 + 4y2y3
= 2(y1+y3)^2 -2y2^2 -2y3^2 + 4y2y3
= 2(y1+y3)^2 -2(y2-y3)^2
= 2z1^2 - 2z2^2

热心网友时间：2023-12-12 16:18

我帮你解