关于三角形内心的运动轨迹问题

发布网友发布时间：2023-07-14 10:00

共2个回答

热心网友时间：2024-11-05 00:21

以圆心为原点，OB为y轴，OA为x轴建立坐标系。
则圆弧方程：x²+y²=4(x<0,y>0)
如果过点I分别作OH,HP,OP的垂线，垂足分别是C,D,E..........(自己画图)
设I坐标(x,y),x<0,y>0
OC=OE=-x,CH=DH=y,PD=PE=r-OE=x+2......这里线段长度要考虑x，y的正负。
xp=-OH=-(OC+CH)=x-y
yp=PH=PD+DH=x+y+2
P点在圆弧上
(x-y)²+(x+y+2)²=4
(x+1)²+(y+1)²=2
由xp<0,yp>0得到：x-y<0,x+y+2>0
结合(x+1)²+(y+1)²=2可以求得内心轨迹是圆心为(-1,-1),半径为√2在第二象限四分之一圆弧。(自己画图然后几何知识可求得。)
所以路径长l=πd/4=π√2/2

热心网友时间：2024-11-05 00:22

好像得用积分做
首先先将图对称看吧，这样别扭
设P点坐标为（2cosa,2sina）,所以OI方程为y=tan(a/2),HI方程为y=-x+2cosa
联立解得I的坐标为(2sinacosa/(cosa+sina+1),2(cos^2a+cosa)/(cosa+sina+1))
化简得到（cosa+sina-1,cosa-sina+1)
所以I的长度为积分（0到pi/2）sqrt[(-sina+cosa)^2+(-sina-cosa)^2]da
=积分（0到pi/2）sqrt(2)da
=π√2/2

额，刚忘记求导直接积分了。