匹配滤波器
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发布时间：2022-04-25 00:02
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时间：2023-10-16 09:09
匹配滤波器是基于信号与噪声比最大化准则设计的，常用于解决信号检测（信号发现）问题，即确定信号是否存在，一般来说，它是由于信号形状严重失真所引起的。此时，假设信号的形状是已知的，并且在滤波过程中的失真不具有实质意义。地球物理数据处理中，信号（异常）的形状可以通过正演问题来确定，也可以通过对邻近具有类似地质条件的异常体上观测值的分析直接确定。在处理地震记录时，信号形状的估计是由原始地震道的自相关或互相关来确定，此外，也存在这样一类震源，像可控源，它们在弹性介质中所激发的信号波形是已知的。所以，已知信号形状（即确定异常）的滤波问题，在地球物理勘探中具有实际价值，它的意义与日俱增，是与寻找深部矿体相联系，由于深部矿体异常的确定受到自然界各种各样的噪声干扰，而且噪声的强度往往要大于异常的强度，即通常所说的弱异常提取。
为了求出匹配滤波器的系统函数（频率响应），我们从加性场模型x（n）=s（n）+v（n）入手，其中s（n）信号（异常），v（n）是平稳随机过程。滤波器的输出是非周期信号。假设信号的形状s（n）已知，因此它的傅氏变换S（ejω）（频谱）也是已知的，即
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滤波器（具有频率响应H（ejω））的输出端信号为
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滤波器输入端噪声的能量通过功率谱密度Pvv（ejω）来表示
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考虑到滤波器是线性的，那么在平稳随机过程的变换中，平稳随机过程的功率谱乘以频率响应模的平方（｜H（ejω）｜2），便得到滤波器的输出端噪声能量的表达式，即
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滤波器输出端在时刻t0的信噪比为
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将式（3-17）和式（3-18）代入式（3-19）得
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在滤波器的输出端y（t0）=so（t0）+no（t0），此时，要求μo最大化。换句话说，要求so（t0）≫no（t0）。利用布尼科夫斯基-舒瓦茨不等式，有
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那么，式（3-20）为
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显然，上式是μo的上限，因此，若取
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则式（3-21）的左端为
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则式（3-21）的右端为
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故式（3-21）的左右两端相等，由式（3-20）得到最大的信噪比表达式为
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这样，式（3-24）就是所求的匹配滤波器的频率响应。
不等式（3-22）的物理意义就在于频率间隔（ω，ω+dω）内，有用信号的频谱幅度越大，且噪声的功率谱越小，那么该频带内有用信号通过的程度就越高，此时，根据式（3-24）可推出，信号与噪声的功率谱差别越大，在滤波器的输出端信噪比就越大。
一般可设t0=0，那么根据式（3-23），得
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如果噪声是不相关的白噪，那么便有Pvv（ejω）=常数，有
H（ejω）=cS*（ejω） （3-26）
由式（3-26）可得，滤波器的频率响应完全由信号的频谱确定，换句话说，滤波器的系统函数是与信号的频谱相匹配的，这也就是为什么称它为匹配滤波器。若将式（3-26）变换到时域（空间域，s（n）为实数），那么有
h（t）=cs（-t）；h（n）=cs（-n） （3-27）
由式（3-27）同样可得，若噪声不相关，滤波器的单位冲激响应完全由信号的形状确定，即单位冲激响应的形状与信号的形状相匹配。不难看出，式（3-27）中的常数就是噪声的方差倒数，即c=1/σ2。由式（3-25）得
Pvv（ejω）H（ejω）=S*（ejω）
根据卷积质，便有
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若噪声的自相关函数已知，且信号的形状已知，那么式（3-28）为一匹配滤波器的线性方程组，可以写成矩阵的形式
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在噪声不相关的情况下，有rvv（0）=σ2，rvv（m）=0（m≠0），由此可见，h（n）=s（-n）/σ2。
此外，由μo对h求导，并令其等于零，可以得到最佳匹配滤波器的方程（滤波器的最佳性是相对其它给出较低信噪比的滤波器而言的），根据式（3-9），有
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显然，此时的分母大于零，所以只要取分子为零即可
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并将其表示成矩阵形式
（sTh）·s·（hTRvvh）-（sTh）2·（Rvvh）=0⇒（hTRvvh）·s-（sTh）·（Rvvh）=0
可以看出，（hTRvvh）和（sTh）为标量，s和Rvvh为列矢量，由此可得
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这样，又一次得到了式（3-28），不过应注意，信号矢量为s=［s（n），s（n-1），s（n-2），s（n-3），…，s（n-M）］T，下面举一例来说明。
［例3-2］信号与噪声与［例3-1］相同，即［s（0），s（1）］=（3，1），［v（0），v（1）］=（1，0），设计一个最佳匹配滤波器。
解：噪声的自相关矩阵和信号的矢量分别为
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根据式（3-29）得
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即h（0）=1，h（1）=3，若考虑归一化，则
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这时，最大信噪比为
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最大功率信噪比为
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［例3-1］中的最佳滤波器（维纳滤波器）的最大信噪比和最大功率信噪比分别为9.363、10.399，而对于最佳匹配滤波器分别为10、11.8。由此可见，最佳匹配滤波器同时能保证信噪比和功率信噪比为最大。
图2-6为匹配滤波器应用的另一个例子，由图可见，在相关噪声的干扰下，滤波器的单位冲激响应与信号的形状不再是匹配关系。因此，信号的形状与滤波器的单位冲激响应仅仅在噪声不相关的情况下相互匹配。在第83个观测点处，过滤后的信号最大值与有用信号的中心点相对应，这就是解决在信号形状失真情况下来发现信号的问题。
在地震数据处理中，匹配滤波器也得到了应用，例如用于发现瑞利面波的存在。在各种校正滤波器的设计方法中也广泛应用匹配滤波器，这种滤波器的系统函数是由反滤波器与匹配滤波器系统函数的乘积构成。
图3-2 与噪声相关的信号发现
a—信号s和相关噪声v（n）；b—噪声的相关系数；c—滤波器的单位冲激响应；d—信号s与相关噪声v（n）的和x（n）；e—匹配滤波器处理结果∑x（i）s（n-i）/σ2；f—信号存在的后验概率
