巧用补形法解决立体几何问题
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发布时间：2023-07-19 22:52
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时间：2023-07-21 10:00
使用情景：用补形法解决立体几何问题
解题步骤：
第一步 首先把不熟悉的或复杂的几何体延伸或补加成熟悉的或简单的几何体，把不完整的图形补成完整的图形；
第二步 然后运用常见的几何体的表面积和体积等计算所求的结果；
第三步 得出结论.
【例】．如图1， 、 分别是矩形 的边 、 的中点， 是 上的一点，将 、 分别沿 、 翻折成 ， ，并连结 ，使得平面 平面 ， ，且 ，连结 ，如图2。
（Ⅰ）证明:平面 平面
（Ⅱ）当 ， ， 时，求直线 和平面 所成的角的正弦值。
【分析】
仔细观察图形和对照已知条件，依题意：面 ，面 ，面 ，面面互相垂直，通过补形可知图形是长方体 中的一部分。
【解析】
（Ⅰ） ， 面 ， 面
平面 平面 。
（Ⅱ）长方体的三共点棱 ， ， ，
又可推得 ， ， ， ， ，
又面 面 ，割去长方体的其它部分只看三棱维 ，
如图，作 于 ，连 ，
可知 为所求。
考虑 的面积有：
，
于是 .
【总结】此题的关键在于根据已知条件构造长方体模型，并根据长方体模型对其进行求解．
使用情景：用分割法解决立体几何问题
解题步骤：
第一步 首先把复杂的或不熟悉的几何体，割分为简单的或熟悉的几何体；
第二步 然后运用常见的几何体的表面积和体积等计算所求的结果；
第三步 得出结论.
【例】. 如图，正方体 的棱长为 ， 是底面 的中心，则 到平面 的距离为（ ）
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】
连接 ，可得到三棱锥 ，我们把这个正方体的其它部分都割去就剩下这个三棱锥，
可知所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。
这个三棱锥底面为直角边为 与 的直角三角形。
这个三棱锥又可视为 ，后者高为 ，底为腰是 的等腰直角三角形，立即可求得原三棱锥的高为 ，故应选B
【总结】求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑 为 的中点，故将要求的距离与 到面 的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥 而进行解题。
