高数,求第1,3,4题的答案,有过程就更好了。谢谢!
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发布时间：2023-07-19 18:35
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时间：2024-12-05 12:33
(2),求微分方程xy'lnx+y=x(1+lnx)的通解
解：先求齐次方程xy'lnx+y=0的通解：
分离变量得dy/y=-dx/(xlnx)
积分之得lny=-∫dx/(xlnx)=-∫d(lnx)/lnx=-lnlnx+lnc=ln(c/lnx)
故y=c/lnx；将c换成x的函数u，得y=u/lnx.........(1)
将(1)对x取导数得y'=(u'lnx-u/x)/ln²x=(u'xlnx-u)/(xln²x).........(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
（u'xlnx-u)/lnx+u/lnx=x(1+lnx)
化简得u'x=x(1+lnx)
x≠0，因此可消去x得u'=1+lnx，故=(1+lnx)dx;
积分之得u=x+∫lnxdx=x+xlnx-∫dx=xlnx+c，代入(1)式即得原方程的通解为：
y=(xlnx+c)/lnx=x+(c/lnx)
(3)计算二重积分∬xydxdy;积分域D：由抛物线y²=x和直线y=x-2所围成。
解：先求抛物线与直线的交点的坐标：有(x-2)²=x，得x²-5x+4=(x-1)(x-4)=0;
故x₁=1，y₁=-1；x₂=4，y₂=2；即交点A(1，-1)；B(4，2).
积分∬xydxdy=∫【-1，2】ydy∫【y²，y+2]xdx=∫【-1，2】y[(1/2)x²]【y²，y+2】dy
=(1/2)∫【-1，2】y[(y+2)²-y^4)]dy=(1/2)【-1，2】∫（y³+4y²+4y-y^5)dy
=(1/2)[(1/4)y^4+(4/3)y³+2y²-(1/5)y^5]【-1，2】
=(1/2){[4+(32/3)+8-(32/5)]-[(1/4)-(4/3)+2+(1/5)]}
=(1/2)[(12+64/15)-(2-53/60)]=893/10.
(4).此题好像条件不全：从(0，0)到(1，2)的园弧可以有很多，不知是什么样的原弧？
