焦点弦的性质应用
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发布时间：2023-07-19 16:13
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时间：2024-01-21 22:27
圆锥曲线方程。圆锥曲线焦点弦的性质及其应用性质。
⑴过椭圆焦点F的直线交椭圆于A、B两点，记q=a^2/c-c，是焦准距， e是离心率。
⑵过双曲线(a>0,b>0)焦点F的直线交双曲线于A、B两点，记p=c-a^2/c，是焦准距。若A、B两点在双曲线的同一支上，此时称AB为双曲线的同支焦点弦。若A、B两点分别位于双曲线的左支和右支上，此时称AB为双曲线的异支焦点弦。（抛物线的类似性质，本文从略） （只证性质⑴,性质⑵的证明从略）由对称性，不妨取F为右焦点。设右准线l与x轴交于点D，过A作AG⊥l于G，过B作BH⊥l于点H，则AG∥FD∥BH；且由椭圆的第二定义知，|AG|= ，|BH|= 。令|FE|=m,|ED|=n，则m+n=|FD|= 。故由 ， = 可得：。∴ 。因此，m+n= ? 。∴ ，从而 就是焦准距。证毕。
[说明]①在上述证明过程中出现的“m = n”， “即|FE|=|ED|”，亦即 E为线段FD的中点（如图1） 这是椭圆焦点弦的另一条性质。双曲线与抛物线也有这一性质。
②如图1，若设∠AFD= ，并分别过A、F作FD和BH的垂线，则可证： 从而得焦点弦长公式：|AB|= = 就是焦准距 。在双曲线与抛物线中也有这样的公式，如：在双曲线 (a>0,b>0)中，若焦点弦AB的倾斜角为 ，则 ， ；从而焦点弦长 为焦准距， 是离心率， 且 。③如图1，若分别连接AD和BD，利用说明①的结论，则易证：∠ADF=∠BDF，即x轴平分∠ADB。在双曲线与抛物线中也有这样的结论。
例1 （07年全国(Ⅰ)高考（理）题)已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线交椭圆于B、D两点，过F2的直线交椭圆于A、C两点，且AC⊥BD，垂足为P。
(Ⅰ)设P点的坐标为（x0，y0），证明： ；
(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值。
分析：(Ⅰ)略。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AC⊥BD的垂足P在椭圆的内部，因此，（画草图）四边形ABCD的面积S= 。
设直线AC的倾斜角为 ，则由本文性质的说明②可得：|AC|= ；而AC⊥BD，∴|BD|= 。从而S= 。
由均值不等式可得： ≤ 。
∴S≥ ，当且仅当 =45°或135°时取等号——问题获解。
