设F(x)=∫(0到x+2π) sinte^sintdt,则F(x)为正数.为什么?

发布网友发布时间：2022-04-24 08:44

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热心网友时间：2022-06-18 03:27

由于被积函数的周期为2π，所以对任意x，都有F(x)=F(0)=∫（0到2π）sinxe^sinxdx=∫（0到π）sinxe^sinxdx+∫（π到2π）sinxe^sinxdx。对于后一项，作x=2π-t代换，得∫（π到2π）sinxe^sinxdx
=-∫（0到π）sinte^（-sint）dt。所以F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx。当x属于[0，π]时，sinx（e^sinx-e^（-sinx）≥0但不恒等于0，所以F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx＞0，故对任意x，恒有F(x)=F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx＞0追问为什么F(0)=∫（0到π）sinx（e^sinx-e^（-sinx））dx＞0？

追答积分学中的一个定理：若被积函数在积分区间上连续且非负，但被积函数在积分区间上不恒等于0，则积分值大于0。