狠狠狠狠狠狠狠狠难........高手帮忙解答一下这三个不等式，谢了
发布网友
发布时间：2022-04-24 08:58
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热心网友
时间：2023-10-09 05:43
设x,y,z为正实数。求证
x^2/(x^2+y^2+xy)+y^2/(y^2+z^2+yz)+z^2/(z^2+x^2+zx)>=1
证明 去分母得:
x^2*(y^2+z^2+yz)*(z^2+x^2+zx)+y^2*(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)+z^2*(x^2+y^2+xy)(y^2+z^2+yz)>=(y^2+z^2+yz)*(z^2+x^2+zx)*(x^2+y^2+xy)
展开化简为:
x^4*y^2+y^4*z^2+z^4*x^2>=xyz(zx^2+xy^2+yz^2)
<==> y^2*(x^2-yz)^2+x^2*(z^2-xy)^2+z^2*(y^2-zx)^2>=0
显然成立。
（2）
∑y(1-y^2)=∑y-∑y^3
≤1-1/9=8/9
x^4/[y(1-y^2)]+9y(1-y^2)/64≥3x^2/4（均值不等式）
∑{x^4/[y(1-y^2)]+9y(1-y^2)/64}≥∑3x^2/4
≥1/4
∑x^4/[y(1-y^2)]≥1/4-9∑y(1-y^2)/64
=1/4-(9/64)(8/9)
=1/4-1/8=1/8
不等式获证！
（3）
8x^8*(1-x^8)^8≤(8/9)^9,于是x(1-x^8)≤8^(8/9)/9,
从而x^3/(1-x^8)=x^4/x(1-x^8)≥9x^4/8^(8/9)
同理有y^3/(1-y^8)≥9y^4/8^(8/9)
z^3/(1-z^8)≥9z^4/8^(8/9)
三式相加即可
利用推广的柯西不等式有
(16/x^3+81/8y^3+1/27z^3)*(x+2y+3z)^3≥(2+3+1)^4,
从而16/x^3+81/8y^3+1/27z^3≥1296,
当x/(16/x^3)=2y/(81/8y^3)=3z/(1/27z^3)取等号
怎么只有5分？！(ˇ^ˇ〉追问因为没几分了...........谢了
(16/x^3+81/8y^3+1/27z^3)*(x+2y+3z)^3≥(2+3+1)^4,
从而16/x^3+81/8y^3+1/27z^3≥1296,
当x/(16/x^3)=2y/(81/8y^3)=3z/(1/27z^3)取等号
是什么意思，取等号不是X=Y=Z=√（1/3）么？
追答有几点需要说明一下：
首先，8x^8*(1-x^8)^8≤(8/9)^9 是利用利用9个数的均值不等式搞出来的
其次，0<x<1，
nx(1-x)^n≤(n/(n+1))^(n+1)
这个不等式挺有用
最后，“利用推广的柯西不等式有”以及之后的那些东西不是指你那一道题，我正在答别的题，把答案张冠李戴了，不好意思。(=^.^=)
