求解一道数分极限证明题
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发布时间：2023-06-27 02:00
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热心网友
时间：2024-12-12 05:07
题目就是想证明f'(x)在x趋向于+∞时极限是0.
反证！
如果f'(x)在x趋向于+∞时极限不是0. 比如是c，c大于零小于零都无所谓
所以f(x)以A-c为极限。这是不可能的 在最远点如果导函数不为零
那么几何意义上函数就是有递增或者递减的趋势 即切线有斜率 函数f就不可能有固定的极限。
如果非得用式子证明
还是反证 假设c>0
对任意的epsl>0,存在一个delta>0,当x>delta时,有 |f(x)- A-c |<epsl 这是f(x)以A-c为极限的定义
因为x>delta 所以肯定存在一个x0介于x和delta之间
用拉格朗日中值定理展开的 f(x)=f(x0)+f`(a)(x-x0)
所以|f(x)- A-c |<epsl -->| f(x0)+f`(a)(x-x0)- A-c |<epsl
由于x0介于x和delta之间 所以x0> delta
所以| f(x0)+A-c | < epsl 但由于 f'(x)在x趋向于+∞时极限是c>0 x-x0又是一个数
所以f`(a)(x-x0) >0 不可能会被一个无穷小量epsl 控制住
