初中奥数:和差与倍数知识点及例题解析
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发布时间：2023-06-22 11:46
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时间：2024-04-22 07:38
和差问题
说到“和差问题”，小学高年级的同学，人人都会说：“我会!”和差问题的计算太简单了.是的，知道两个数的和与差，求两数，有计算公式：
大数=(和+差)÷2
小数=(和-差)÷2
会算，还要会灵活运用，要把某些应用题转化成和差问题来算.
先看几个简单的例子.
例1，张明在期末考试时，语文、数学两门功课的平均得分是95分，数学比语文多得8分，张明这两门功课的成绩各是多少分?
解：95乘以2，就是数学与语文两门得分之和，又知道数学与语文得分之差是8.因此
数学得分=(95×2+8)÷2=99.
语文得分=(95×2-8)÷2=91.
答：张明数学得99分，语文得91分.
注：也可以从95×2-99=91求出语文得分.
例2，有A，B，C三个数，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求这三个数.
解：从B+C=197与A+C=149，就知道B与A的差是197-149，题目又告诉我们，B与A之和是252.因此
B=(252+197-149)÷2=150，
A=252-150=102，
C=149-102=47.
答：A，B，C三数分别是102，150，47.
注：还有一种更简单的方法
(A+B)+(B+C)+(C+A)=2×(A+B+C).
上面式子说明，三数相加再除以2，就是三数之和.
A+B+C=(252+197+149)÷2=299.因此
C=299-252=47，
B=299-149=150，
A=299-197=102.
例3，甲、乙两筐共装苹果75千克，从甲筐取出5千克苹果放入乙筐里，甲筐苹果还比乙筐多7千克.甲、乙两筐原各有苹果多少千克?
解：画一张简单的示意图，
就可以看出，原来甲筐苹果比乙筐多
5+7+5=17(千克)
因此，甲、乙两数之和是75，差为17.
甲筐苹果数=(75+17)÷2=46(千克).
乙筐苹果数=75-46=29(千克).
答：原来甲筐有苹果46千克，乙筐有苹果29千克.
例4，张强用270元买了一件外衣，一顶帽子和一双鞋子.外衣比鞋贵140元，买外衣和鞋比帽子多花210元，张强买这双鞋花多少钱?
解：我们先把外衣和鞋看成一件东西，它与帽子的价格和是270元，差是210元.
外衣和鞋价之和=(270+210)÷2=240(元).
外衣价与鞋价之差是140，因此
鞋价=(240-140)÷2=50(元).
答：买这双鞋花50元.
再举出三个较复杂的例子.如果你也能像下面的解答那样计算，那么就可以说，“和差问题”的解法，你已能灵活运用了.
例5，李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间(上发条所用时间忽略不计)?
解：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的.就有
钟停的时间+路上用的时间=160(分钟).
晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.
因此
钟停的时间-路上用的时间=120(分钟).
现在已把问题转化成标准的和差问题了.
钟停的时间=(160+120)÷2=140(分钟).
路上用的时间=160-140=20(分钟).
答：李叔叔的钟停了2小时20分.
还有一种解法，可以很快算出李叔叔路上所用时间：
以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以
上班路上所用时间=(8小时50分钟-8小时-10分钟)÷2=20(分钟).
钟停时间=2小时40分钟-20分钟
=2小时20分钟.
例6，小明用21.4元去买两种贺卡，甲卡每张1.5元，乙卡每张0.7元，钱恰好用完.可是售货员把甲卡张数算作乙卡张数，把乙卡张数算作甲卡张数，要找还小明3.2元.问小明买甲、乙卡各几张?
解：甲卡与乙卡每张相差1.5-0.7=0.8(元)，售货员错找还小明3.2元，就知小明买的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4(张).
现在已有两种卡张数之差，只要求出两种卡张数之和问题就解决了.如何求呢?请注意
1.5×甲卡张数+0.7×乙卡张数=21.4.
1.5×乙卡张数+0.7×甲卡张数=21.4-3.2.
从上面两个算式可以看出，两种卡张数之和是
[21.4+(21.4-3.2)]÷(1.5+0.7)=18(张).
因此，甲卡张数是
(18+4)÷2=11(张).
乙卡张数是18-11=7(张).
答：小明买甲卡11张、乙卡7张.
注：此题还可用鸡兔同笼方法做，请见下一讲.
例7，有两个一样大小的长方形，拼合成两种大长方形，如右图.大长方形(A)的周长是240厘米，大长形(B)的周长是258厘米，求原长方形的长与宽各为多少厘米?
解：大长方形(A)的周长是原长方形的
长×2+宽×4.
大长方形(B)的周长是原长方形的
长×4+宽×2.
因此，240+258是原长方形的
长×6+宽×6.
原长方形的长与宽之和是
(240+258)÷6=83(厘米).
原长方形的长与宽之差是
(258-240)÷2=9(厘米).
因此，原长方形的长与宽是
长：(83+9)÷2=46(厘米).
宽：(83-9)÷2=37(厘米).
答：原长方形的长是46厘米、宽是37厘米
倍数问题
当知道了两个数的和或者差，又知道这两个数之间的倍数关系，就能立即求出这两个数.小学算术中常见的“年龄问题”是这类问题的典型.先看几个基础性的例子.
例1，有两堆棋子，第一堆有87个，第二堆有69个.那么从第一堆拿多少个棋子到第二堆，就能使第二堆棋子数是第一堆的3倍.
解：两堆棋子共有87+69=156(个).
为了使第二堆棋子数是第一堆的3倍，就要把156个棋子分成1+3=4(份)，即每份有棋子
156÷(1+3)=39(个).
第一堆应留下棋子39个，其余棋子都应拿到第二堆去.因此从第一堆拿到第二堆的棋子数是
87-39=48(个).
答：应从第一堆拿48个棋子到第二堆去.
例2，有两层书架，共有书173本.从第一层拿走38本书后，第二层的书比第一层的2倍还多6本.问第二层有多少本书?
解：我们画出下列示意图：
我们把第一层(拿走38本后)余下的书算作1“份”，那么第二层的书是2份还多6本.再去掉这6本，即
173-38-6=129(本)
恰好是3份，每一份是
129÷3=43(本).
因此，第二层的书共有
43×2+6=92(本).
答：书架的第二层有92本书.
说明：我们先设立“1份”，使计算有了很方便的计算单位.这是解应用题常用的方法，特别对倍数问题极为有效.把份数表示在示意图上，更是一目了然.
例3，某小学有学生975人.全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人.问全校有男、女生各多少人?
解：设六年级学生人数是“1份”.
男生是4份-23人.
女生是3份+11人.
全校是7份-(23-11)人.
每份是(975+12)÷7=141(人).
男生人数=141×4-23=541(人).
女生人数=975-541=434(人).
答：有男生541人、女生434人.
例2与例3是一个类型的问题，但稍有差别.请读者想一想，“差别”在哪里?
70双皮鞋.此时皮鞋数恰好是旅游鞋数的2倍.问原来两种鞋各有几双?
解：为了计算方便，把原来旅游鞋算作4份，售出1份，还有3份.那么原有皮鞋增加70双后将是3×2=6(份).400+70将是3+1+6=10(份).每份是
(400+70)÷10=47(双).
原有旅游鞋47×4=188(双).
原有皮鞋47×6-70=212(双).
答：原有旅游鞋188双，皮鞋212双.
设整数的份数，使计算简单方便.小学算术中小数、分数尽可能整数化，使思考、计算都较简捷.因此，“尽可能整数化”将会贯穿在以后的章节中.
下面例子将是本节的主要内容──年龄问题.
年龄问题是小学算术中常见的一类问题，这类题目中常常有“倍数”这一条件.解年龄问题最关键的一点是：两个人的年龄差总保持不变.
例4，父亲现年50岁，女儿现年14岁.问几年前，父亲的年龄是女儿年龄的5倍?
解：父女相差36岁，这个差是不变的.几年前还是相差36岁.当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁.这36岁是女儿年龄的(5-1)倍.
36÷(5-1)=9.
当时女儿是9岁，14-9=5，也就是5年前.
答：5年前，父亲年龄是女儿年龄的5倍.
例5，有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米.小水池里已有水70立方米.现在往两个水池里注入同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍.问每个水池注入了多少立方米的水.
解：画出下面示意图：
我们把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份.从图上可以看出，因为注入两个水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量(300-70)是2份.
因此每份是
(300-70)÷2=115(立方米).
要注入的水量是
115-70=45(立方米)?
答：每个水池要注入45立方米的水.
例5与年龄问题是完全一样的问题.“注入水”相当于年龄问题中的“几年后”.
例6，今年哥俩的岁数加起来是55岁.曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁?
解：当哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍时，我们设那时弟弟的岁数是1份，哥哥的岁数是2份，那么哥哥与弟弟的岁数之差是1份.两人的岁数之差是不会变的，今年他们的年龄仍相差1份.
题目又告诉我们，那时哥哥岁数，与今年弟弟的岁数相同，因此今年弟弟的岁数也是2份，而哥哥今年的岁数应是2+1=3(份).
今年，哥弟俩年龄之和是
3+2=5(份).
每份是55÷5=11(岁).
哥哥今年的岁数是11×3=33(岁).
答：哥哥今年33岁.
作为本节最后一个例子，我们将年龄问题进行一点变化.
例7，父年38岁，母年36岁，儿子年龄为11岁.
问多少年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍?
解：现在父母年龄之和是
38+36=74.
现在儿子年龄的4倍是11×4=44.相差
74-44=30.
从4倍来考虑，以后每年长1×4=4，而父母年龄之和每年长1+1=2.
为追上相差的30，要
30÷(4-2)=15(年)?
答：15年后，父母年龄之和是儿子年龄的4倍.
请读者用例6的解题思路，解习题二的第7题.也许就能完全掌握这一解题技巧了.
请读者想一想，例7的解法，与例5的解法，是否不一样?各有什么特点?
我们也可以用例15解法来解例12.具体做法有下面算式：
(14×5-50)÷(5-1)=5(年).
不过要注意14×5比50多，因此是5年前.
盈不足问题
在我国古代的算书中，《九章算术》是内容最丰富多彩的一本.在它的第七章，讲了一类盈不足问题，其中第一题，用现代的语言来叙述，就是下面的例题.
例1，有一些人共同买一些东西，每人出8元，就多了3元;每人出7元，就少了4元。那么有多少人?物价是多少?
解：“多3元”与“少4元”两者相差
3+4=7(元).
每个人要多出8-7=1(元).
因此就知道，共有7÷1=7(人)，物价是
8×7-3=53(元).
答：共有7个人一起买，物价是53元.
上面的3+4可以说是两个总数的相差数.而8-7是每份的相差数.计算公式是
总数相差数÷每份相差数=份数
这样的问题在内容上有很多变化，形成了一类问题，我们通称为“盈不足”问题.请再看一些例子.
例2，把一袋糖分给小朋友们，每人分10粒，正好分完;如果每人分16粒，就有3个小朋友分不到糖.这袋糖有多少粒?
解一：3位小朋友本来每人可以分到10粒，他们共有的10×3=30(粒)，分给其余小朋友，每人就可以增加16-10=6(粒)，因此其余小朋友有
10×3÷(16-10)=5(人).
再加上这3位小朋友，共有小朋友5+3=8(人).这袋糖有
10×(5+3)=80(粒).
解二：如果我们再增加16×3粒糖，每人都可以增加(1-10)粒，因此共有小朋友
16×3÷(16-10)=8(人)?
这袋糖有80粒.
答：这袋糖有80粒.
这里，16×3是总差，(16-10)是每份差，8是份数.
例3，有一个班的同学去划船，他们算了一下，如果增加一条船，每条船正好坐6人;如果减少一条船，每条船正好坐9人.这个班共有多少名同学?
解：如果每条船坐6人，就要增加一条船，也就是现在有6个人无船坐;如果每条船坐9人，可以减少一条船，也就是还可以多来9个人坐船.可以坐船的人数，两者相差6+9=15(人).
这是由于每条船多坐(9-6)人产生的，因此共有船
(6+9)÷(9-6)=5(条)?
这个班的同学有6×5+6=36(人).
答：这个班有36人.
例4，小明从家去学校，如果每分钟走80米，能在上课前6分钟到校，如果每分钟走50米，就要迟到3分钟，那么小明的家到学校的路程有多远?
解一：以小明从家出发到上课这一段时间来算，两种不同速度所走的距离，与小明家到学校的距离进行比较：如果每分钟走80米，就可以多走80×6(米);如果每分钟走50米，就要少走50×3(米).请看如下示意图：
因此我们可以求出，小明从家出发到上课这段时间是
(80×6+50×3)÷(80-50)=21(分钟).
家至学校距离是
800×(21-6)=1200(米)?
或50×(21+3)=1200(米).
答：小明家到学校的路程是1200米.
解二：以每分钟80米走完家到学校这段路程所需时间，作为思考的出发点.
用每分钟50米速度，就要多用6+3=9(分种).这9分钟所走的50×9(米)，恰好补上前面少走的.因此每分钟80米所需时间是
50×(6+3)÷(80-50)=15(分钟)?
再看两个稍复杂的例子.
例5，一些桔子分给若干个人，每人5个还多余10个桔子.如果人数增加到3倍还少5个人，那么每人分2个桔子还缺少8个，问有桔子多少个?
解：使人感到困难的是条件“3倍还少5人”.先要转化这一条件.
假设还有10个桔子，10=2×5，就可以多有5个人，把“少5人”这一条件暂时搁置一边，只考虑3倍人数，也相当于按原人数每人给2×3=6(个).
每人给5个与给6个，总数相差
10+10+8=28(个).
所以原有人数28÷(6-5)=28(人).
桔子总数是5×28+10=150(个).
答：有桔子150个.
例6，有一些苹果和梨.如果按每1个苹果2个梨分堆，梨分完时还剩5个苹果，如果按每3个苹果5个梨分堆，苹果分完了还剩5个梨.问苹果和梨各多少?
解一：我们设想再有10个梨，与剩下5个苹果一起，按“1个苹果、2个梨”前一种分堆，都分完.以后一种“3个苹果、5个梨”分堆来看，苹果总数能被3整除.因此可以把前一种分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3个苹果，2×3=6(个)梨.与后一种分堆比较：
每堆苹果都是3个.而梨多1个(6-5=1).梨的总数相差
设想增加10个+剩下5个=15个.
(10+5)÷(6-5)=15.
就知有15个大堆，苹果总数是
15×3=45(个).
梨的总数是(45-5)×2=80(个).
答：有苹果45个、梨80个.
解二：用图解法.
前一种分堆，在图上用梨2份，苹果1份多5个来表示.
后一种分堆，只要添上3个苹果，就可与剩的5个梨又组成一堆.梨算作5份，苹果恰好是3份.
将上、下两图对照比较，就可看出，5+3=8(个)是下图中“半份”，即1份是16.梨是5份，共有16×5=80(个).苹果有16×2.5+5=45(个).
