傅立叶变换的物理意义是什么?如何用光学的方法实现傅立叶变换?
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发布时间：2022-04-25 17:03
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时间：2023-02-07 09:09
Transformée de Fourier有多种中文译名，常见的有“傅里叶变换”、“傅立叶变换”、“付立叶变换”、“富里叶变换”、“富里哀变换”等等。为方便起见，本文统一写作“傅里叶变换”。
应用
傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。
概要介绍
* 傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的（参见：林家翘、西格尔著《自然科学中确定性问题的应用数学》，科学出版社，北京。原版书名为 C. C. Lin & L. A. Segel, Mathematics Applied to Deterministic Problems in the Natural Sciences, Macmillan Inc., New York, 1974）。
* 傅里叶变换属于谐波分析。
* 傅里叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
* 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
* 卷积定理指出:傅里叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
* 离散形式的傅里叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅里叶变换算法(FFT)).
基本性质
线性性质
两函数之和的傅里叶变换等于各自变换之和。数学描述是：若函数f \left( x\right )和g \left(x \right)的傅里叶变换\mathcal[f]和\mathcal[g]都存在，α 和 β 为任意常系数，则\mathcal[\alpha f+\beta g]=\alpha\mathcal[f]+\beta\mathcal[g]；傅里叶变换算符\mathcal可经归一化成为么正算符；
频移性质
若函数f \left( x\right )存在傅里叶变换，则对任意实数 ω0，函数f(x) e^{i \omega_ x}也存在傅里叶变换，且有\mathcal[f(x)e^{i \omega_ x}]=F(\omega + \omega _0 ) 。式中花体\mathcal是傅里叶变换的作用算子，平体F表示变换的结果（复函数），e 为自然对数的底，i 为虚数单位\sqrt；
微分关系
若函数f \left( x\right )当|x|\rightarrow\infty时的极限为0，而其导函数f'(x)的傅里叶变换存在，则有\mathcal[f'(x)]=-i \omega \mathcal[f(x)] ，即导函数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子 − iω 。更一般地，若f(\pm\infty)=f'(\pm\infty)=\ldots=f^{(k-1)}(\pm\infty)=0，且\mathcal[f^{(k)}(x)]存在，则\mathcal[f^{(k)}(x)]=(-i \omega)^ \mathcal[f] ，即 k 阶导数的傅里叶变换等于原函数的傅里叶变换乘以因子( − iω)k。
卷积特性
若函数f \left( x\right )及g \left( x\right )都在(-\infty,+\infty)上绝对可积，则卷积函数f*g=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x-\xi)g(\xi)d\xi的傅里叶变换存在，且\mathcal[f*g]=\mathcal[f]\cdot\mathcal[g] 。卷积性质的逆形式为\mathcal^[F(\omega)G(\omega)]=\mathcal^[F(\omega)]*\mathcal^[G(\omega)] ，即两个函数乘积的傅里叶逆变换等于它们各自的傅里叶逆变换的卷积。
Parseval定理
若函数f \left( x\right )可积且平方可积，则\int_{-\infty}^{+\infty} f^2 (x)dx = \frac{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |F(\omega)|^d\omega 。其中 F(ω) 是 f(x) 的傅里叶变换。
傅里叶变换的不同变种
连续傅里叶变换
主条目：连续傅立叶变换
一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。
f(t) = \mathcal^[F(\omega)] = \frac{\sqrt{2\pi}} \int\limits_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega.
上式其实表示的是连续傅里叶变换的逆变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对(transform pair)。
一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform）。
当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换(cosine transform) 或 正弦转换(sine transform).
另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)*成立.
傅里叶级数
主条目：傅里叶级数
连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^ ,
其中Fn 为复振幅。对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
f(x) = \fraca_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right],
其中an和bn是实频率分量的振幅。
离散时间傅里叶变换
主条目：离散时间傅里叶变换
离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT）的特例（有时作为后者的近似）。DTFT在时域上离散，在频域上则是周期的。DTFT可以被看作是傅里叶级数的逆。
离散傅里叶变换
主条目：离散傅里叶变换
为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数xn 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数 xn 表示为下面的求和形式：
x_n = \frac1 \sum_{k=0}^ X_k e^{i\frac{2\pi} kn} \qquad n = 0,\dots,N-1
其中Xk是傅里叶振幅。直接使用这个公式计算的计算复杂度为\mathcal(n^2)，而快速傅里叶变换（FFT）可以将复杂度改进为\mathcal(n \log n)。计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。
在阿贝尔群上的统一描述
以上各种傅里叶变换可以被更统一的表述成任意局部紧致的阿贝尔群上的傅里叶变换。这一问题属于调和分析的范畴。在调和分析中, 一个变换从一个群变换到它的对偶群(al group)。此外，将傅里叶变换与卷积相联系的卷积定理在调和分析中也有类似的结论。傅里叶变换的广义理论基础参见庞特里雅金对偶性（英文版）中的介绍。
时频分析变换
主条目：时频分析变换
小波变换，chirplet转换和分数傅里叶转换试图得到时间信号的频率信息。同时解析频率和时间的能力在数学上受不确定性原理的*。
傅里叶变换家族
下表列出了傅里叶变换家族的成员. 容易发现,函数在时(频)域的离散对应于其像函数在频(时)域的周期性.反之连续则意味着在对应域的信号的非周期性.
变换 时间 频率
连续傅里叶变换 连续, 非周期性 连续, 非周期性
傅里叶级数 连续, 周期性 离散, 非周期性
离散时间傅里叶变换 离散, 非周期性 连续, 周期性
离散傅里叶变换 离散, 周期性 离散, 周期性
傅里叶变换的基本思想首先由法国学者傅里叶系统提出，所以以其名字来命名以示纪念。
从现代数学的眼光来看，傅里叶变换是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
傅立叶变换属于调和分析的内容。"分析"二字，可以解释为深入的研究。从字面上来看，"分析"二字，实际就是"条分缕析"而已。它通过对函数的"条分缕析"来达到对复杂函数的深入理解和研究。从哲学上看，"分析主义"和"还原主义"，就是要通过对事物内部适当的分析达到增进对其本质理解的目的。比如近代原子论试图把世界上所有物质的本源分析为原子，而原子不过数百种而已，相对物质世界的无限丰富，这种分析和分类无疑为认识事物的各种性质提供了很好的手段。
在数学领域，也是这样，尽管最初傅立叶分析是作为热过程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的还原论和分析主义的特征。"任意"的函数通过一定的分解，都能够表示为正弦函数的线性组合的形式，而正弦函数在物理上是被充分研究而相对简单的函数类，这一想法跟化学上的原子论想法何其相似！奇妙的是,现代数学发现傅立叶变换具有非常好的性质,使得它如此的好用和有用,让人不得不感叹造物的神奇:
1. 傅立叶变换是线性算子,若赋予适当的范数,它还是酉算子;
2. 傅立叶变换的逆变换容易求出,而且形式与正变换非常类似;
3. 正弦基函数是微分运算的本征函数,从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解.在线性时不变的物理系统内,频率是个不变的性质,从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取;
4. 著名的卷积定理指出:傅立叶变换可以化复杂的卷积运算为简单的乘积运算,从而提供了计算卷积的一种简单手段;
5. 离散形式的傅立叶变换可以利用数字计算机快速的算出(其算法称为快速傅立叶变换算法(FFT)).
正是由于上述的良好性质,傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。
