离散傅里叶变换的对换实例
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发布时间：2022-04-25 17:03
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时间：2023-10-21 10:35
对于N点序列 {x[n ]} 0 ≤ n < N ，它的离散傅里叶变换（DFT）为
其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位。通常以符号F表示这一变换，即
离散傅里叶变换的逆变换（IDFT）为：
可以记为：
实际上，DFT和IDFT变换式中和式前面乘上的归一化系数并不重要。在上面的定义中，DFT和IDFT前的系数分别为1 和1/N。有时会将这两个系数都改成
，这样就有 ，即DFT成为酉变换。 由于周期为N的离散信号构成N维欧几里得空间 ，定义其上任意两向量x,y内积为：
那么我们有对于 上的一组正交基：
将向量x在此基上进行分解，可以得到：
令 ，此即为离散傅里叶变换。又 ，我们有：
此即为离散傅里叶变换的逆变换。
事实上由内积的性质我们有：
特别的令x=y，我们有： 对于任意N维向量 ，我们定义 为 中各项向前循环移 位。那么对于N维任意向量 我们定义其圆周卷积为如下向量：
我们容易知道 ，即圆周卷积可交换。同样圆周卷积可结合即 ，证明如下：
易知： ，所以此数列第 项为：
同理可证， 的第 项为：
显然：
因此，我们有 。事实上，对于任意N维向量x，我们有：
因此：
由圆周卷积的结合性我们有：
即有：
因此离散傅里叶变换可将圆周卷积变为乘积运算。 连续时间信号x(t) 以及它的连续傅里叶变换（CT）?
x
( ω)
都是连续的。由于数字系统只能处理有限长的、离散的信号，因此必须将x 和?
x
都离散化，并且建立对应于连续傅里叶变换的映射。
数字系统只能处理有限长的信号，为此假设x(t)时限于[0, L]，再通过时域采样将x(t)离散化，就可以得到有限长的离散信号。设采样周期为T，则时域采样点数N=L/T。
x discrete (t) = x (t) N - 1
Σ
n = 0 δ(t-nT) = N - 1
Σ
n = 0 x (nT) δ(t-nT)
它的傅里叶变换为
?
x
discrete ( ω) = N - 1
Σ
n = 0 x (nT)F δ(t-nT) = 1
––
T N - 1
Σ
n = 0 x (nT)e - i 2 π n ω T
这就是x(t)时域采样的连续傅里叶变换，也就是离散时间傅里叶变换，它在频域依然是连续的。
类似的，频域信号也应当在带限、离散化之后才能由数字系统处理。依据采样定理，时域采样若要能完全重建原信号，频域信号?
x
( ω)
应当带限于(0,1/T)。由于时域信号时限于[0, L]，由采样定理以及时频对偶的关系，频域的采样间隔应为1/L。故，频域采样点数为
1/T
–––––
1/L = N
即频域采样的点数和时域采样同为N，频域采样点为 { ω k = k/NT} 0 ≤ k < N 在DTFT频域上采样：
?
x
[k ] = ?
x
discrete ( ω k ) = 1
––
T N - 1
Σ
n = 0 f[n ]e - i 2 π
– – – – –
N n k
令T=1，将其归一化，就得到前面定义的离散傅里叶变换。因此，DFT就是先将信号在时域离散化，求其连续傅里叶变换后，再在频域离散化的结果。 下面考察离散傅里叶变换与连续傅里叶变换的关系。
Fx ( ω) = ?
x
( ω) = 1
––
L ∫ L
0 x (t)e - i ω t dt
其采样为
?
x
( ω k ) = 1
––
L ∫ L
0 x (t)e - i ω k t dt
将这个积分以黎曼和的形式近似，有
?
x
( ω k ) ≈ 1
––
L N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i ω k n T T = 1
––
N ?
x
[k ] 参见离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换（DTFT）是在时域上对连续傅里叶变换的采样。DFT则是在频域上对DTFT的均匀采样。离散信号x[n ]（n=0,...,N-1）的DTFT为：
?
x
(e i ω ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ] e - i n ω
对?
x
(e i ω )
在离散的频点{ ω k = k 2 π
–––––
N } 0 ≤ k < N
上采样
?
x
[k ] = ?
x
(e i ω k ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
– – – – –
N k n k = 0, …,N-1
即为x 的DFT。由于DTFT在频域是周期的，所以在DTFT频域上的均匀采样也应是周期的。?
x
[k ]
实际上是这个周期序列的主值序列。 N 点序列的DFT只能在有限的N个频点上观察频谱，这相当于从栅栏的缝隙中观察景色，对于了解信号在整个频域上的特性是不够的。为了观察到其他频率的信息，需要对原信号x[n]做一些处理，以便在不同的频点上采样。
将原来在DTFT频域上的采样点数增加到M 点，这样采样点位置变为{ ω ' k = e i k 2 π
– – – – –
M } 0 ≤ k < M
。则对应的DFT成为
?
x
'[k ] = ?
x
(e ik ω ' k ) = N - 1
Σ
n = 0 x[n ]e - i 2 π
– – – – –
M k n
若在序列x[n] 之后补上M-N个零，设为x'[n]，则上式变为
?
x
'[k ] = M - 1
Σ
n = 0 x '[n ]e - i 2 π
– – – – –
M k n = Fx '
因此将x[n]补零再做DFT就可以得到x[n]的DTFT在其他频率上的值，相当于移动了栅栏，因而能够从其他位置进行观察。 N 点DFT的频谱分辨率是2 π/N。一节指出可以通过补零观察到更多的频点，但是这并不意味着补零能够提高真正的频谱分辨率。这是因为x[n] 实际上是x(t) 采样的主值序列，而将x[n]补零得到的x'[n]周期延拓之后与原来的序列并不相同，也不是x(t) 的采样。因此?
x
'
与?
x
是不同离散信号的频谱。对于补零至M点的x'的DFT，只能说它的分辨率2 π/M仅具有计算上的意义，?
x
'
并不是真正的、物理意义上的频谱。频谱分辨率的提高只能通过提高采样频率实现。
