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第二第三大题,高数,求解

发布网友 发布时间:2023-08-31 22:06

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热心网友 时间:2024-10-19 06:25

2(1)做变换y=ux y'=u'x+u
u'x+u=(y-2x)/(x+2y)=(u-2)/(1+2u)
u'x=(-2u^2-2)/(1+2u) 分离变量即可
(1+2u)/(u^2+1) =(-2/x)dx
arctanu+ln(u^2+1)=-2ln|x|+C
arctan(y/x)+ln(y^2/x^2+1)=-2ln|x|+C
代入 x=1 y=1 得 arctan1+ln2=-2ln1+C 的C=π/4+ln2
arctan(y/x)+ln(y^2/x^2+1)=-2ln|x|+π/4+ln2
arctan(y/x)+ln(y^2+x^2)=π/4+ln2

(2)做变换y=ux y'=u'x+u
y'=u'x+u =(x^3+y^3)/(3xy^2)=(1+u^3)/(3u^2)
u'x=(1+u^3)/(3u^2)-u=(1-2u^3)/(3u^2)
6u^2/(2u^3-1) +2/xdx=0
ln|2u^3-1|+2ln|x|=C
ln|2y^3-x^3|-ln|x|=C 代入x=1,y=0 得 C=0
2y^3-x^3=±x 再代入x=1,y=0 知取负号
2y^3=x^3-x

3(1) u=y-x u'=y'-1=-1/u 2u+2dx=0 (u^2+2x)'=0 u^2+2x=C (y-x)^2+2x=C
(2)u=x+y u'=y'+1=(1/u^2)+1=(u^2+1)/u^2 u^2/(1+u^2)=dx u-arctan(u)=x+C
x+y-arctan(x+y)=x+C y=arctan(x+y)+C
(3)u=xy u'=y+xy'=y[lnx+lny]=(u/x)lnu /ulnu=dx/x ln|lnu|=ln|x|+C1 lnu=Cx
xy=e^(Cx)
(4)u=x+y^2 u'=1+2yy'=1+(x-y^2)/(x+y^2)=2x/(x+y^2)=2x/u
2u=4xdx u^2=2x^2+C (x+y^2)^2=2x^2+C
-x^2+2xy^2+y^4=C

热心网友 时间:2024-10-19 06:25

看不清手打吧
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