反比例函数是怎样的图像?
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发布时间：2023-09-02 22:20
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时间：2024-12-11 17:55
反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的两条曲线,反比例函数图象中每一象限的每一条曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y≠0）。
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y=k/x (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反比例函数。因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X≠0。而y=k/x有时也被写成xy=k或y=k·x^（-1）。表达式为：x是自变量，y是因变量，y是x的函数。
中文名
反比例函数
外文名
inverse proportional function
公式
y=k/x，其中k∈(-∞,0)∪(0,+∞)
定义域
{x|x≠0}
值域
(-∞,0)∪(0,+∞)
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表达式函数图象函数性质应用举例知识与概念延伸
定义
一般的，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成
(k为常数，k≠0，x≠0）[1]，其中k叫做反比例系数，x是自变量，y是x的函数，x的取值范围是不等于0的一切实数,且y也不能等于0。k>0时，图象在一、三象限。k<0时，图象在二、四象限。k的绝对值表示的是x与y的坐标形成的矩形的面积。
表达式
x是自变量，y是因变量，y是x的函数
（即：y=kx^-1）
(k为常数且k≠0，x≠0）
若此时比例系数为：
自变量的取值范围
① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数。
合并图册
② 函数 y 的取值范围也是任意非零实数。
解析式
其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数，
即 {x|x≠0,x属于R这个范围。R是实数范围。也就是x是实数}。
下面是一些常见的形式：y*x=-1,y=x^(-1)*k（k为常数(k≠0），x不等于0）
因为在反比例函数的解析式y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式。因而一般只要给出一组x或者y的值或图像上任意一点的坐标，然后代入y=k/x中即可求出k的值，进而确定反比例函数的解析式。
函数图象
当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x和y轴，但永远不会与x轴和y轴相交.
图象画法
1）列表
x
...
-3
-2
-1
1
2
3
4
...
y
...
-4
-6
-12
12
6
4
3
...
2）在平面直角坐标系中标出点（一般标5个点，称为5点作图法）。
3）用平滑的曲线连接点。
当K>0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而减小。
当K<0时，在图象所在的每一象限内，Y随X的增大而增大。
当两个数相等时那么曲线呈弯月型。
k的意义及应用
过反比例函数
（
）图象上任意一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积为
。过反比例函数图象一点，作任一坐标轴的垂线，并连接原点，围成的三角形的面积为
。
研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为
。
所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数。这个常数是k的绝对值。在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用反比例函数中k的几何意义，会给解题带来很多方便。
函数性质
单调性
当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小；
当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性
因为在
(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x轴，y轴。
合并图册
面积
在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|，
反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y轴和x轴，则QOWM的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT△OMQ的面积=½|k|。
图像表达
反比例函数图象不与x轴和y轴相交的渐近线为：x轴与y轴。
k值相等的反比例函数图象重合，k值不相等的反比例函数图象永不相交。
|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
对称性
反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图象也是轴对称图形，其对称轴为y=x或y=-x；反比例函数图象上的点关于坐标原点对称。
反比例函数的对称性
图象关于原点对称。若设正比例函数y=mx与反比例函数 交于A、B两点（m、n同号），那么A B两点关于原点对称。
反比例函数关于正比例函数y=±x轴对称,并且关于原点中心对称。
应用举例
例1
反比例函数图象上有一点P（m, n）其坐标是关于t的一元二次方程 t^2+3t+k=0的两根，且P到原点的距离为根号13，求该反比例函数的解析式．
分析：
要求反比例函数解析式，就是要求出k，为此我们就需要列出一个关于k的方程．
解：∵ m, n是关于t的方程 的两根
∴ m+n=-3，mn=k,
又∵P到原点的距离为根号13
m＾2+n＾2=13, m+n=-3;
∴ (m+n)＾2-2mn=13, m+n=-3；
∴ 9-2k=13
∴ k=-2
∴该反比例函数的解析式为y=-2/x.
例2
直线与位于第二象限的双曲线 相交于A、A1两点，过其中一点A向x、y轴作垂线，垂足分别为B、C，矩形ABOC的面积为6，求：
（1）求双曲线的解析式
分析：矩形aboc的边AB和AC分别是A点到x轴和y轴的垂线段，设A点坐标为（m,n），则AB=|n|, AC=|m|，
根据矩形的面积公式知|m·n|=6.
由已知条件知，该双曲线位于第二、四象限，因此，A点坐标值异号，
即双曲线的解析式为xy=-6.例3
已知一次函数y=-x+6和反比例函数 y=x/k（k≠0）
（2）k满足什么条件时，这两个函数在同一坐标系中的图像有两个交点？
（3）当图像有两个交点时（设为A和B），判断∠AOB是锐角、钝角还是直角？说明理由。解（1）一次函数y=-x+6和反比例函数y=x/k（k不等于零）有两个交点，即
化简的有两个交点 则方程有两个不同的解
即所以k<9且k不等于0
（2）当0<k<9时 两交点在第一象限所以∠AOB是锐角 当k<0时 两交点分别在第二和第四象限所以∠AOB是钝角
例3
已知函数.
（1）当m为何值时，y是x的正比例函数?
（2）当m为何值时，y是x 的反比例函数？
解（1）正比例函数则x次数是1
(m-2)(m+1)=0
m=2,m=-1
系数不等于0
m-1≠0
所以m=2,m=-1
（2）反比例函数则x次数是-1
m(m-1)=0
m=0,m=1
系数不等于0
m-1≠0
所以舍去m=1
因此m=0
例4
一矩形的面积为24，则该矩形的长x cm与宽y cm之间的关系是什么?请写出函数表达式，若要求矩形的各边长均为整数，请画出所有可能的的矩形。
解 面积xy=24
函数表达式(x>0)
矩形的各边长均为整数
可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24
知识与概念
概念理解
形如
(k为常数且k≠0)的函数，叫做反比例函数。
自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
反比例函数图象性质：反比例函数的图象为双曲线。
由于反比例函数属于奇函数，有对称中心，图象关于原点对称。
另外，从反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图象上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
如图，上面给出了k分别为正和负（2和-2）时的函数图象。
当K>0时，反比例函数图象经过一，三象限，是减函数
当K<0时，反比例函数图象经过二，四象限，是增函数
反比例函数图象只能无限趋向于坐标轴，无法和坐标轴相交。[1]
重点知识
过反比例函数图象上任意一点作两坐标轴的垂线段，这两条垂线段与坐标轴围成的矩形的面积为|k|。
对于双曲线，若在分母上加减任意一个实数m(m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移m个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移）[1]
延伸
设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数
交于（1，1）和（-1，-1），且当n越大并且x>1时，,图像离坐标轴近；当n越大并且0<x<1时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1<x<0时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1>x时，图像离坐标轴近。
设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数
交于（-1，1）和（1，1），且当n越大并且x>1时，,图像离坐标轴近；当n越大并且0<x<1时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1<x<0时，图像离坐标轴远；当n越大并且-1>x时，图像离坐标轴近。
设n为正整数，则n的所有取值所对应的函数和交于（1，1）。[1]
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参考资料
[1] 首页>>初中数学>>教师中心>>同步教学资源>>教师用书>>八年级下册．人民教育出版社 [引用日期2014-02-10]
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