高等数学,算积分,求解这个积分
发布网友
发布时间：2023-08-15 13:57
共2个回答
热心网友
时间：2024-10-27 16:20
= ∫secxdtanx = secxtanx - ∫secx(tanx)^2dx
= secxtanx - ∫secx[(secx)^2-1]dx
= secxtanx - I +∫secxdx
I = (1/2)secxtanx + (1/2)ln|secx+tanx| + C
法2： I = ∫dx/(cosx)^3 = ∫cosxdx/(cosx)^4
= ∫dsinx/[1-(sinx)^2]^2 令 u= sinx
= ∫/(1-u^2)^2
= (1/4)∫[1/(1+u)+1/(1-u)+1/(1+u)^2+1/(1-u)^2]
= (1/4)ln|(1+u)/(1-u)| - (1/4)/(1+u) + (1/4)/(1-u) + C
= (1/2)u/(1-u^2) + (1/4)ln|(1+u)/(1-u)| + C
= (1/2)sinx/(cosx)^2 + (1/4)ln|(1+sinx)/(1-sinx)| + C
= (1/2)tanxsecx + (1/2)ln|secx+tanx| + C追问感谢回答！请教一下，这种底下次幂高的三角函数积分还有什么别的思路吗？
追答还可用半角代换， 令 u = tan(x/2), 不过有点麻烦。
具体题目，具体分析，方法可不同。
热心网友
时间：2024-10-27 16:21
=∫secxdtanx
=secxtanx-∫tanxdsecx
=secxtanx-∫secxtan²xdx
=secxtanx-∫secx(sec²x-1)dx
=secxtanx-∫sec³xdx+∫secxdx
=secxtanx-∫sec³xdx+ln|secx+tanx|
则2∫sec³xdx=secxtanx+ln|secx+tanx|
∫(secx)^3dx=1/2secxtanx+1/2ln|secx+tanx|+C
友情推导一下∫secxdx。按说这个是需要记忆的公式。
∫secxdx
=∫(1/cosx)dx
=∫[cosx/(cosx)^2]dx
=∫[1/1-(sinx)^2]d(sinx)
=(1/2)∫[1/(1-sinx)+1/(1+sinx)]d(sinx)
=(1/2)[-ln|1-sinx|+ln|1+sinx|]+C
=(1/2)ln|(1+sinx)/(1-sinx)|+C
=ln|secx+tanx|+C
