曲线积分和曲面积分时,不是能用曲线和曲面方程带入积分函数简化吗?
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发布时间：2023-08-15 19:33
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时间：2023-08-23 02:56
x²+y²+z²=a²（注意：这是球面方程，而非
实心球
体的方程，除非是x²+y²+z²≦a²,才是球体方程）
是将a²代入被积式.。
举例
,曲面积分
∫∫（x²+y²+z²）dxdy
=a²∫∫dxdy
再举一个曲面积分例子∫∫x²dydz
+
y²dzdx
+
z²
dxdy
(积分区域为球面
x²+y²+z²=a²外侧)
按照你说的意思就是∫∫x²dydz
+
y²dzdx
+
z²
dxdy
=
（这一步的时候已经将曲面积分转化为了
二重积分
了，只是多了一个正
负号
和双值函数的区别）∫∫（a²-z²-y²）dydz
+（a²-x²-z²）dzdx
+
(a²-x²-y²)dxdy
再用高斯公式，这样是错误的。
事实上，这一题目可以用先高斯公式∫∫x²dydz
+
y²dzdx
+
z²
dxdy
分别对x²、y²、z²求导数，直接转化为
三重积分
，最后用三重积分的对称性结果为0
。
还可以对∫∫x²dydz
+
y²dzdx
+
z²
dxdy
使用轮换对称性=3∫∫x²dydz
（由被积式和积分曲面的特点考虑）=3×2∫∫（a²-x²-y²）（±）dydz
=0（这里将z²=a²-x²-y²代入，意思就是对xy坐标面进行有向投影，分为上下两个半球，上半球取正号，下半球去负号，所以结果为0）。懂了吧
？
