一个高中数学题 求数列通项 没有搜到答案 求大佬指点

发布网友 发布时间：2023-08-08 14:40

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热心网友 时间：2023-10-16 07:38

解：
根据题意，我们得到递推式：
a_{n+1} = (1/n) * (a_n^2 + 2n)
首先，我们可以将递推式写成如下形式：
a_{n+1} = a_n^2/n + 2
然后，我们可以将这个递推式与通项公式的形式进行比较，发现这个递推式类似于等比数列的通项公式，即：
a_{n+1} = q * a_n + c
所以，我们可以设 q = 1/n, c = 2，得到通项公式：
a_n = q^(n-1) * a_1 + (q^(n-1) - 1)/(q - 1) * c
根据题目给出的 a1 = 5，求出通项公式：
a_n = 1/n^(n-1) * 5 + (1/n^(n-1) - 1)/(1/n - 1) * 2
可以看出，该数列的通项公式为：
a_n = 5/n^(n-1) + 2/(n-1)
接下来，我们来求该数列的前 n 项和 S_n。
根据求和公式：
S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n
我们可以得到：
S_n = 5 + 5/2 + 5/3 + ... + 5/n
注意到，当 n 足够大时，5/n 趋近于 0，所以我们可以将 5/n 当作一个极小量，用泰勒展开式进行展开，得到：
S_n ≈ 5 * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)
我们知道，这个式子是求调和级数的形式，根据调和级数的公式：
H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n
我们得到：
S_n ≈ 5 * H_n
所以，该数列的前 n 项和 S_n ≈ 5 * H_n。

热心网友 时间：2023-10-16 07:38

首先，我们将递推关系式变形为：an+1 = (an^2 + 2n) / (1/n) = nan^2 + 2n^2。然后，我们设x = an，那么x^2 - nx - 2n^2 = 0。解这个二次方程，我们得到x = (-(-n) ± √((-n)^2 - 4 * 1 * (-2n^2))) / (2 * 1) = (n ± √(n^2 + 8n^2)) / 2 = (n ± √(9n^2)) / 2 = (n ± 3n) / 2。所以，an 的两个解分别是x1 = 2n和x2 = -n。
由于a1 = 5，所以我们可以得到如下方程组： {a1 = x1C1 + x2C2 {5 = 2C1 - C2 解这个方程组，我们得到C1 = 5/3和C2 = -5/3。所以，an 的通项公式为an = x1C1 + x2C2 = 2n * (5/3) + (-n) * (-5/3) = (10/3)n + (5/3)n = (15/3)n = 5n。
至于第二问，Sn 的求法很简单。由于an 是一个等差数列，所以Sn = n(a1 + an) / 2 = n(5 + 5n) / 2 = (5n^2 + 5n) / 2。

热心网友 时间：2023-10-16 07:38

(1) 首先将已知条件改写为通项公式的形式：
1/(n * a_n + 1) = a_n * (a_n + 2n)
将等式两边取倒数，得到：
n * a_n + 1 = 1 / (a_n * (a_n + 2n))
化简得：
n * a_n * (a_n + 2n) + a_n = 1
移项得：
n * a_n^2 + (2n^2 + 1) * a_n - 1 = 0
根据求根公式，得到：
a_n = (-2n^2 - 1 ± √(4n^4 + 4n^2 + 1)) / (2n)
因为 a1 = 52，所以代入 n = 1，得到：
a_1 = (-2 * 1^2 - 1 ± √(4 * 1^4 + 4 * 1^2 + 1)) / (2 * 1) = 52
因此，通项公式为：
a_n = (-2n^2 - 1 ± √(4n^4 + 4n^2 + 1)) / (2n)
(2) 要求数列 {an} 的前 n 项和 S_n，可以使用数学归纳法证明 S_n 的通项公式为：
S_n = (3/4) * (1 - 1/(2n+1)^2)
首先，当 n = 1 时，有：
S_1 = a_1 = 52 = (3/4) * (1 - 1/(2*1+1)^2)
因此，当 n = 1 时，S_n 的通项公式成立。
假设当 n = k 时，S_k 的通项公式成立，则当 n = k+1 时，有：
S_k+1 = S_k + a_k+1
代入通项公式，得到：
S_k+1 = (3/4) * (1 - 1/(2k+1)^2) + (-2k^2 - 1 + √(4k^4 + 4k^2 + 1)) / (2k+1)
化简得：
S_k+1 = (3/4) * (1 - 1/(2k+3)^2)
因此，当 n = k+1 时，S_n 的通项公式也成立。
综上所述，数列 {an} 的前 n 项和 S_n 的通项公式为：
S_n = (3/4) * (1 - 1/(2n+1)^2)