你能举出几个柯西不等式的例子吗?
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发布时间：2023-08-22 01:17
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时间：2024-03-20 13:09
1、二维形式：
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥（ac+bd)^2
等号成立条件：ad=bc
2、三角形式：
√（a^2＋b^2)＋√（c^2＋d^2)≥√［（a－c)^2＋（b－d)^2]
等号成立条件：ad=bc
3、向量形式：
｜α｜｜β｜≥｜α·β｜，α＝（a1,a2,…，an)，β＝（b1,b2,…，bn)（n∈N，n≥2）
等号成立条件：β为零向量，或α＝λβ（λ∈R）。
4、一般形式：
（∑ai^2)(∑bi^2)≥（∑ai·bi)^2
等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…＝an:bn，或ai、bi均为零。
1.柯西不等式的特点：左边是平方和的积，简记为方和积，右边是乘积和的平方。
2.柯西不等式的直接应用。
例：已知x,y满足x+3y=4,求4x2+y2的最小值。
分析：
方法一，大家看到该题后的直接想法可能是换元，把关于x,y的双元变量变换为关于x或y的一元变量问题，再借助于二次函数的思想可以解决。
方法二，由于其结构特征与柯西不等式的形式非常相似。
