an+1=(an^2+3)/(an+1) ,a1=1,求an

发布网友 发布时间：2023-08-22 08:22

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热心网友 时间：2024-12-04 18:03

a（n十1）=（an²十an一an一1十4）/（an十1）

=an一1十4/（an十1）

a（n十1）一an=一1十4/（an十1）

[ a（n十1）一an ] （an十1）=3一an

a2=（1²十3）/（1十1）=2

a3=（2²十3）/（2十1）=7/3

a4=（49/9十3）/（7/3十1）

=76/30

设an<3

an²<3an

an²十3<3an十3

（ an²十3 ）/（an十1）=a（n十1）<3

a1=1

因此， an<3恒成立。

a（n十1）一an=（an²十3）/（an十1）-an=（3一an）/（an十1）>0,单增。

an=3，a（n十1）=（3²十3）/（3十1）=3

n足够大时，an=3成立。

a（n十1）十1=an十4/（an十1）

得到连分数。

a（n十1）十1=an十4/（a（n-1十）） 4/ （a（n-2）十）……4/（a2十） 4/（a1十1）

数列的函数理解：

①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。

②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。

③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

扩展资料：

通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式，如  。数列通项公式的特点：

1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一；

2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...）。

递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列递推公式特点：

1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。

2）有些数列没有递推公式，即有递推公式不一定有通项公式。

通项公式：

an=a1+(n-1)d

其中，n=1时 a1=S1；n≥2时 an=Sn-Sn-1。

an=kn+b(k,b为常数) 推导过程：an=dn+a1-d 令d=k，a1-d=b 则得到an=kn+b。

等差中项：

由三个数a，A，b组成的等差数列堪称最简单的等差数列。这时，A叫做a与b的等差中项（arithmetic mean）。有关系：A=(a+b)÷2。

前n项和倒序相加法推导前n项和公式：

Sn=a1+a2+a3 +·····+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+······+[a1+(n-1)d] ①

Sn=an+an-1+an-2+······+a1=an+(an-d)+(an-2d)+······+[an-(n-1)d] ②

由①+②得2Sn=(a1+an)+(a1+an)+······+(a1+an)（n个）=n(a1+an)

∴Sn=n(a1+an)÷2。

等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：

Sn=n(a1+an)÷2=na1+n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2+n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1

参考资料：百度百科---数列

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