什么是微分?有何意义?

发布网友发布时间：2023-08-20 02:17

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热心网友时间：2024-12-04 04:52

释义：是指x变化极小量。d后面跟一个x的表达式，当x变化极小后，相应的表达式值发生很小的变化。

dx是微分符号，微分分为一元微分和多元微分。

定义

设函数y = f(x)在某区间内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的Δy = f(x0 + Δx) − f(x0)可表示为 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy,即dy = AΔx。通常把自变量x的增量 Δx称为自变量的微分，记作dx，即dx = Δx。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。

几何意义

微分设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量，Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量，dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时，|Δy－dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小)，因此在点M附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。