为什么lim(n^(1/ n))=1?

发布网友发布时间：2023-08-20 04:33

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热心网友时间：2024-11-30 00:39

要证明该极限，首先我们要明确我们正在什么情况下讨论极限。当n趋于正无穷大时，我们证明n的n次方根的极限为1。所以我们要证明的是：

lim (n^(1/n)) = 1，当n->∞

为了确实取得这个结论，我们可以将原式进行对数变换:

取对数后，原式子变为：

lim (1/n)*log(n)，当n->∞

现在接着用ℓ'Hôpital's rule，这是一个在处理0/0或者∞/∞的极限形式的法则，该法则告诉我们可以通过对分母和分子求导来找出这个极限。

求导后得到：

lim （(log(n)'/(1/n)')，当n->∞

即为

lim (1/n/(-1/n^2))，当n->∞

这个极限非常直接，因为它变成：

lim (-n)，当n->∞

这个结果为0。

因此，我们得出结论：在n追踪到正无穷大时，lim (n^(1/n)) = 1。这是通过对数变换和ℓ'Hôpital's rule得出的结果。