设随机变量X服从参数为3的指数分布,且Y=2X+1,求+E(X),E(Y),D(Y)?
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发布时间：2023-08-24 06:15
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时间：2024-11-23 19:23
f(x) = λe^(-λx)，其中 λ = 3
因此，X的期望值为：
E(X) = ∫[0,∞] x * f(x) dx = ∫[0,∞] x * 3e^(-3x) dx
通过分部积分法，可以得到：
E(X) = [-x * e^(-3x) / 3] [0,∞] + ∫[0,∞] e^(-3x) / 3 dx
由于当x趋近于无穷大时，e^(-3x)趋近于0，因此第一项为0，第二项可以通过积分计算得到：
E(X) = [-e^(-3x) / 9] [0,∞] = 1/3
因此，X的期望值为1/3。
由于Y = 2X + 1，因此Y的期望值为：
E(Y) = E(2X + 1) = 2E(X) + 1 = 2/3 + 1 = 5/3
接下来计算Y的方差：
Var(Y) = Var(2X + 1) = 4Var(X)
因此，我们只需要计算X的方差即可。根据指数分布的性质，X的方差为：
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
其中，E(X^2)可以通过类似于计算E(X)的方法得到：
E(X^2) = ∫[0,∞] x^2 * f(x) dx = ∫[0,∞] x^2 * 3e^(-3x) dx
通过分部积分法，可以得到：
E(X^2) = [-x^2 * e^(-3x) / 3] [0,∞] + ∫[0,∞] 2x * e^(-3x) / 3 dx
由于当x趋近于无穷大时，x^2 * e^(-3x)和2x * e^(-3x) / 3都趋近于0，因此第一项为0，第二项可以通过积分计算得到：
E(X^2) = [2 * e^(-3x) / 9] [0,∞] = 2/9
因此，X的方差为：
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2/9 - (1/3)^2 = 1/9
因此，Y的方差为：
Var(Y) = 4Var(X) = 4/9
