几道几何数学题
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发布时间：2023-08-12 18:25
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时间：2023-08-16 05:02
六、如图，AD//BC，∠DAB与∠ABC的角平分线的交点E在CD上，AD=3cm，BC=5cm.求AB的长.
方法一：
解：过E分别做三条垂线：EF⊥BC、EG⊥AB、EH⊥AD ∴ EF=EG=EH=h
∴S（ABCD）= 1/2（AD+BC）*2h = 8h
S（AED）=1/2*AD*h = 3/2h
S（BCE）= 1/2*BC*h = 5/2h
∴S(ABE) = S（ABCD）-S(AED)-S(BCE) = 4h=1/2AB*h
∴ AB = 8
方法二：
解：经分析 E为CD中点，且AE⊥BE，即∠AEB = 90°
过E做AD的平行线交AB于M
则EM是梯形ABCD的中位线 也是RT△ABE斜边上的中线
∴ EM = 1/2（AD+BC） = 1/2 AB
∴AB = AD+BC = 5+3 = 8（cm）
18页
四、如图，在锐角△ABC中，AD、CE分别是BC、AB边上的高，AD、CE相较于F，BF的中点为P，AC的中点为Q，连结PQ、QE.求证：直线PQ是线段DE的垂直平分线.
证明：连接EQ、DQ、EP、DP
在Rt△ACE中，EQ=1/2AC
在Rt△ACD中，DQ=1/2AC
∴EQ=DQ。
同理：
在Rt△EFB中，EP=1/2BF
在Rt△BDF中，DP=1/2BF
∴ EP=DP
∴ 点P和Q都在DE 的垂直平分线上，
即：PQ是线段DE 的垂直平分线
20页
三、如图，已知△ABC中，D是CB延长线上一点，∠ADB=60°，E是AD上一点，且有DE=DB，AB=AC.求证：AE=BE+BC.
证明：作AF⊥BC于F，取AD中点G，连接FG ∴ FG = 1/2 AD = AG = GD BF=FC
则：△DBE ∽△DFG 且都是等边△
∴ GE = BF AG = DF
∴AE = AG+GE = DF+ BF = DF+FC = BD+BF+FC = EB + BC
即证！
六、如图，已知点C是线段AB上任意一点（C点不与A、B重合），分别以AC、BC为边在直线AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N.（1）求证：△ACE全等于△DCB；（2）求证：MN平行AB.
证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，
∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，
∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，
即∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB（SAS）
（2）∵∠BCN=∠ECN
BC = EC
∠NBC =∠MEC
∴△CME≌CNB（ASA）
∴CM=CN
∴△CMN为等边△
∴∠MNC = 60° =∠NCB
∴ MN // AB （内错角相等，两直线平行）
