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请用向量证明,三角形同比分点所连成的三角形的重心和原三角形的重心重合

发布网友 发布时间:2022-04-25 14:40

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2个回答

热心网友 时间:2023-10-09 13:18

设BD : DC = CE : EA = AF : FB = γ
根据矢量加法有 矢量BD + 矢量CE + 矢量AF = (γ/(1 + γ)) (矢量BC + 矢量CA + 矢量AB) = (γ/(1 + γ)) * 0 = 0
设 O 为△ABC的重心,有 矢量OA + 矢量OB + 矢量OC = 0
而 矢量OD = 矢量OB + 矢量BD
矢量OE = 矢量OC + 矢量CE
矢量OF = 矢量OA + 矢量AF
所以
矢量OD + 矢量OE + 矢量OF
= (矢量OB + 矢量BD) + (矢量OC + 矢量CE) + (矢量OA + 矢量AF)
= (矢量OA + 矢量OB + 矢量OC)+ (矢量BD + 矢量CE + 矢量AF)
= 0 + 0 = 0
故 O也是△DEF的重心。问题得证。
注:这里用到一个定理:
O是三角形的重心的充要条件是矢量OA+矢量OB+矢量OC=0

热心网友 时间:2023-10-09 13:19

设OA=a, OB=b, OC=c OD=ta+(1-t)b, 则OE=tb+(1-t)c,OF=tc+(1-t)a
设⊿ABC重心是G.则 OG= (a+b+c)/3
⊿DEF重心是H,则OH={[ta+(1-t)b]+[tb+(1-t)c]+[tc+(1-t)a]}/3
= (a+b+c)/3=OG. H与G重合。
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