三角形重心向量式充要条件是什么?

发布网友发布时间：2022-04-25 14:40

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热心网友时间：2023-10-09 13:18

当p是三角形abc的重心
延长ap交bc于d，再延长到e,使|de|=pd|,连接be,ec
则：|pd|=(1/2)|pa|，|pe|=|pa|,
向量pa=-向量pe
因d是bc中点，又是pe中点
所以：pbec是平行四边形
所以：向量pb+向量pc=向量pe=-向量pa
向量pa+向量pb+向量pc=0向量
当向量pa+向量pb+向量pc=0向量
作be平行pc,ce平行pb,交于e
连接pe,交bc于d
则：pbec是平行四边形,所以：向量pe=向量pb+向量pc,同时d是bc中点
而：向量pa+向量pb+向量pc=0向量
所以：向量pa+向量pe=0向量
向量pa=-向量pe
所以：p,a,e共线，即ap延长线与bc交于bc的中点
同理可证：bp延长线与ac交于ac的中点,cp延长线与ab交于ab的中点
所以：p为三角形的重心
所以：在三角形abc中,向量pa+向量pb+向量pc=0向量的充要条件是p为三角形的重心。

热心网友时间：2023-10-09 13:19

设三角形为ΔABC,O为其中一点,[ ]表示向量,∠A,B,C所对边分别为a,b,c 若[OA]+[OB]+[OC]=0,则0为重心,中线的交点