如何理解极限的定义?
发布网友
发布时间：2023-08-18 17:58
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热心网友
时间：2023-12-23 20:49
极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数或数列在某个点或无穷远处的趋势。可先理解如下极限的定义：
1.函数极限的定义：
设函数 f(x) 在 x = a 的某个邻域内有定义，如果对于任意给定的正数 ε，存在正数 δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称 L 是函数 f(x) 在 x = a 处的极限，记作：
lim┬(xa)〖f(x) = L〗
其中，L 为常数。
这一定义表明，当 x 自变量接近 a 时，函数 f(x) 的值会无限地接近 L。可以理解为，无论多么接近 a，只要足够靠近 a，函数值与 L 的差距都可以控制在 ε 的范围内。
2.数列极限的定义：
设数列 {a_n} 中的元素依次为 a_1, a_2, a_3, ...，如果对于任意给定的正数 ε，存在正整数 N，使得当 n > N 时，有 |a_n - L| < ε 成立，则称 L 是数列 {a_n} 的极限，记作：
lim┬(n∞)〖a_n = L〗
这一定义说明，当数列的项数 n 趋近于无穷大时，数列的值会无限地接近 L。可以理解为，在数列中找到一个位置 N，从该位置开始，数列的值与 L 的差距都可以控制在 ε 的范围内。
3.理解极限的定义时，需要注意以下几点：
极限是描述趋势的概念，并不关注函数或数列在某个具体点上的取值。
极限存在并不意味着函数或数列在该点或无穷远处有定义或收敛。
极限的存在并不保证唯一性，即可能存在多个不同的极限。
通过理解这些概念，可以更好地理解和应用极限的定义，并在数学问题中进行分析和推导。
热心网友
时间：2023-12-23 20:50
这题比较容易理解的
分析：首先当n趋于无穷时
（1+1/n)^n=e
所以【（1+1/n)^2】^n=(1+2/n+1/n^2)^n=e^2
然后有(1+2/n)^n=(1+1/n/2)^n/2*2=e^2
发现当n趋于无穷时(1+2/n)^n=(1+2/n+1/n^2)^n=e^2所以可以推测极限是e^2
ps：这题1/n^2的n次方当n趋于无穷时极限为0,所以可以忽略.
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