证明斐波那契数列的性质?
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发布时间：2023-09-26 13:42
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时间：2024-12-12 03:20
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=F(2)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2,，X2=(1-√5)/2
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}（√5表示根号5）
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r，s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1， -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
就用这个通项公式去解即可
参考资料：http://ke.baidu.com/image/148f28d390c1b6333bf3cf08
热心网友
时间：2024-12-12 03:20
但我想可以利用Fn的其他性质。
不妨记f0=0
n=1时，即f(m+1)=f(m+1),显然成立。
n=2时，即f(m+2)=f(m+1)+f(m),显然成立。
若n-1,n时命题成立，证明n+1时命题成立
f(m+n+1)=f(m+n)+f(m+n-1)
=f(n-1)*f(m)+f(n)*f(m+1)+f(n-2)*f(m)+f(n-1)*f(m+1)
=[f(n-1)+f(n-2)]*f(m)+[f(n)+f(n-1)]*f(m+1)
=f(n)*f(m)+f(n-1)*f(m+1)
命题成立
综上，有数学归纳法可知原命题成立
