怎样解决复合函数的导数问题?
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发布时间：2023-09-14 16:57
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热心网友
时间：2023-11-03 19:02
1. 确定复合函数的结构：将复合函数拆解成多个简单函数的组合形式，确定每个简单函数的导数。
2. 应用链式法则：根据链式法则，计算每个简单函数相对于自变量的导数，并将它们相乘。
3. 代入函数的自变量：将每个简单函数对应的自变量代入到导数表达式中。
4. 简化表达式：对导数表达式进行简化和合并，得到最终的复合函数的导数表达式。
下面以一个例子来说明解决复合函数的导数问题的步骤：
假设有复合函数 f(x) = sin(2x^2 + 3x - 1)，我们要求 f(x) 的导数。
1. 确定复合函数的结构：将 f(x) 拆解成两个简单函数的组合，即 g(x) = 2x^2 + 3x - 1 和 h(x) = sin(x)。
2. 应用链式法则：计算 g(x) 和 h(x) 的导数，得到 g'(x) = 4x + 3 和 h'(x) = cos(x)。
3. 代入函数的自变量：将 g(x) 和 h(x) 的自变量分别代入到 g'(x) 和 h'(x) 中，得到 g'(x) = 4x + 3 和 h'(x) = cos(2x^2 + 3x - 1)。
4. 简化表达式：根据链式法则，将 g'(x) 和 h'(x) 相乘，得到最终的导数表达式 f'(x) = (4x + 3) * cos(2x^2 + 3x - 1)。
需要注意的是，不同的复合函数具有不同的结构和简化方式。在解决复合函数的导数问题时，需要根据具体情况确定使用的方法和准确的计算步骤。熟练运用链式法则和基本函数的导数规则，并注意计算的准确性和简化的正确性。
热心网友
时间：2023-11-03 19:03
已知方程F(x，y)=0能确定函数y=y(x)，那么方程两边对x取导数得：
∂F/∂x+(∂F/∂y)(dy/dx)=0
故dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y);
例如：已知方程F(x，y)= xy³+xe^y+3x+siny=0能取得函数y=y(x);
另一解法：方程两边对x取导数，得：
y³+3xy²y'+e^y+x(e^y)y'+3+(cosy)y'=0
(3xy²+xe^y+cosy)y'=-(y³+e^y+3)
∴y'=-(y³+e^y+3)/(3xy²+xe^y+cosy)
用此法时，要记住：y³，e^y，cosy都是y的函数，而y又是x的函数，因此将它们对x求导时，
要用复合函数的链式求导规则；即d(xy³)/dx=∂(xy³)/∂x=[y³+x(∂y³/∂y)(∂y/∂x)]=y³+3xy²y';
其它类似。
