怎样判断三角形是否为费马点?
发布网友
发布时间：2023-09-08 00:37
共1个回答
热心网友
时间：2023-09-30 23:31
2.当有一个内角大于或等于120°时
对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP,
PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC
≌
△AP'C'∵∠BAC
≥
120°∴∠PAP'
=
180°-∠BAP-∠C'AP'
=
180°-∠BAP-∠CAP
=
180°-∠BAC
≤
60°∴等腰三角形PAP'中，AP
≥
PP'∴PA
+
PB
+
PC
≥
PP'
+PB
+
PC'
>
BC'
=
AB
+
AC∴点A即费马点
当三个内角都小于120°时
在△ABC内做一点P，使得∠APC
=∠BPC
=∠CPA
=
120°，过A、B、C分别作PA、PB、PC的垂线，交于D、E、F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A、P'B、P'C，过P'作P'H
⊥
EF于H易证明∠D
=∠E
=∠F
=
60°，即△DEF为正三角形，设边长为d，面积为S则有2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)∵P'H
≤
P'A所以2S△EP'F
≤
P'A
·d
①同理有2S△DP'F
≤
P'B·d
②2S△EP'D
≤
P'C·d
③①
+
②
+
③，得
2(S△EP'F
+
S△DP'F
+
S△EP'D)
≤
P'A·d
+
P'B·d
+
P'C·d
∴2S
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)
又∵2S
=
d(PA
+
PB
+
PC)
∴d(PA
+
PB
+
PC)
≤
d(P'A
+
P'B
+
P'C)即PA
+
PB
+
PC
≤
P'A
+
P'B
+
P'C
当且仅当P与P'重合时，等号成立∴点P即费马点
