已知A=(P的逆)*B*P，给出一个正交变换阵P，使得B的对角线元素全为零。P怎么求呢？
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发布时间：2023-09-07 06:39
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热心网友
时间：2023-09-13 01:21
相似矩阵拥有同样的秩，所以B的秩是-3、1、1、1。1为B的三重特征根，所以，|B-E|的秩为1。将|B-E|进行行变换，把第二、三、四行的首个元素变为零之后，可以发现，此时行列式第二、三、四行所有元素都必须为零，否则，行列式的秩将不等于1。（这里需要将行列式进行扩展开来看，因为数字太多，就没有写。）
由此可以得到，B是对角元素为零，其他所有元素均为-1的实对称矩阵。
然后通过求B的对角相似矩阵的方法来求得P，这里的计算过程比较多，就不赘述了。
这里只求了1所对应特征向量的正交单位化，为
(-√2/2,√2/2,0,0)、（-√6/6,-√6/6,√6/3,0）、（-√12/12,-√12/12,-√12/12,√12/4）。追问既然B相似于对角阵diag(-3 1 1 1)，那么B的秩一定与该对角阵的秩相同，即rank(B)=4。三重特征根只是代数重数为3，在这里几何重数还是1。嗯....
