证 若f是[a,正无穷)上的严格单调函数，且∫a到正无穷分f(x)dx收敛，则x趋向于正无穷是时f(x)趋向于0
发布网友
发布时间：2023-09-07 17:50
共1个回答
热心网友
时间：2023-09-19 12:18
因为f(x)有界，而且又单调，所以f(x)必然收敛。假设当x趋于无穷时，f(x)收敛于b
用反证法，假设b不等于0，那么一定可以找到一个点x0，使得x>x0时，|f(x)|>|b/2|恒成立。
这样f(x)从a到正无穷的积分可以分成两部分，一部分是从a到x0的定积分，是有限的，另一部分是从x0到正无穷的积分，由于x>x0时，|f(x)|>|b/2|，所以这部分积分肯定是发散的，所以f(x)从a到正无穷的积分必然发散，不合题意。
所以用反证法证明了b必须等于0
