相似三角形在坐标系中的问题
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发布时间：2023-09-08 21:40
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时间：2023-09-09 21:49
（1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
（2）当DE=8时，求线段EF的长；
（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）连接BC，
∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
∵∠AOB=30°，
∴∠ACB=2∠AOB=60°，
∴弧AB的长=
60×π×5
180
=
5π
3
；（4分）
（2）①若D在第一象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=
OD2-DE2
=
102-82
=6，
∴AE=AO-OE=10-6=4，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴
AE
DE
=
EF
OE
，即
4
8
=
EF
6
，
∴EF=3；（4分）
②若D在第二象限，
连接OD，
∵OA是⊙C直径，
∴∠OBA=90°，
又∵AB=BD，
∴OB是AD的垂直平分线，
∴OD=OA=10，
在Rt△ODE中，
OE=
OD2-DE2
=
102-82
=6，
∴AE=AO+OE=10+6=16，
由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
得△OEF∽△DEA，
∴
AE
DE
=
EF
OE
，即
16
8
=
EF
6
，
∴EF=12；
∴EF=3或12；
（3）设OE=x，
①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC
中点，即OE=
5
2
，∴E1（
5
2
，0）；
当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
∴CF∥AB，有CF=
1
2
AB，
∵△ECF∽△EAD，
∴
CE
AE
=
CF
AD
，即
5-x
10-x
=
1
4
，解得：x=
10
3
，∴E2（
10
3
，0）；
②当交点E在点C的右侧时，
∵∠ECF＞∠BOA，
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
连接BE，
∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
∴BE=AB=BD，
∴∠BEA=∠BAO，
∴∠BEA=∠ECF，
∴CF∥BE，
∴
CF
BE
=
OC
OE
，
∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴
CF
AD
=
CE
AE
，
而AD=2BE，
∴
OC
2OE
=
CE
AE
，即
5
2x
=
x-5
10-x
，解得x1=
5+5 17
4
，x2=
5-5 17
4
＜0（舍去），∴E3（
5+5 17
4
，0）；
③当交点E在点O的左侧时，
∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
连接BE，得BE=
1
2
AD=AB，∠BEA=∠BAO
∴∠ECF=∠BEA，
∴CF∥BE，
∴
CF
BE
=
OC
OE
，
又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
∴△CEF∽△AED，
∴
CE
AE
=
CF
AD
，
而AD=2BE，
∴
OC
2OE
=
CE
AE
，∴
5
2x
=
x+5
10+x
，解得x1=
-5+5 17
4
（舍去），x2=
-5-5 17
4
，
∵点E在x轴负半轴上，
∴E4（
-5-5 17
4
，0），
综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
此时点E坐标为：E1（
5
2
，0）、E2（
10
3
，0）、E3（
5+5 17
4
，0）、E4（
-5-5 17
4
，0）．（4分）
本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用．关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解．
