常用的积分公式都有哪些?值得收藏,经常用到!

发布网友 发布时间：2023-09-14 18:16

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热心网友 时间：2024-10-25 09:06

常用的积分公式，指的是六大基本函数相关的一些不定积分。

首先是常量函数的积分公式。包括：

（1）∫0dx=C。

（2）∫1dx=x+C。

（3）∫adx=ax+C。a是任意常数。

虽然被积函数都是常量，但0的原函数是任意常数，而非0的常数的原函数却是一次函数。

然后是幂函数：

（4）∫x^adx=x^（a+1）/（a+1）+C（a≠-1，x>0）。

你可以对右边求导，就可以得到被积函数。求导和不定积分可以看作是一个互逆的过程。x大于0是为了防止偶数次号内有负数，或者分母是0，造成被积函数没有意义。而a=-1时，却是另外一类不定积分，是原函数为对数函九有关的不定积分。

（5）∫1/xdx=ln|x|+C（x≠0）。

（6）∫1/（xlna）dx=log_a|x|+C（a>0，a≠1；x≠0）。

需要注意的是，当x>0时，不需要加绝对值符号。否则就要加绝对值符号，这一点是很多人容易忽略的。

还有指数函数的不定积分公式：

（7）∫e^xdx=e^x+C。

（8）∫a^xdx=a^x/lna+C（a>0，a≠1）。

与三角函数有关的不定积分公式特别多，这里只分享比较简单的一些。注意，不论是与三角函数有关的不定积分，还是与反三角函数有关的积分，它们一般都是成对出现的，而且两个积分之间总有某种交错对称的关系，注意观察，结合起来才容易记忆。

与三角函数有关的常用积分公式：

（1）∫cosaxdx=1/a*sinax+C；∫sinaxdx=-1/a*cosax+C（a≠0）。

当a=1时，就有∫cosxdx=sinx+C；∫sinxdx=-cosx+C。

其实所有的积分公式中，x都可以替换成中间变量u=ax，结果在原函数前面乘上一个1/a就可以了。

（2）∫（secx）^2dx=tanx+C；∫（cscx）^2dx=-cotx+C。

（3）∫secx·tanxdx=secx+C；∫cscx·tanxdx=-cscx+C。

（4）∫（sinx）^2dx=1/2*（x-sinxcosx）+C；∫（cosx）^2dx=1/2*（x+sinxcosx）+C。

（5）∫dx/（1±sinx）=tanx∓secx+C；∫dx/（1±cosx）=-cotx±cscx+C。

（6）∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C。

注意，求不定积分的方法有很多，用不同的方法可能会得到不同的形式，所以千万不要一看到形式不同，就认为结果是错误的。

（7）∫tanxdx=-ln|cosx|+C；∫cotxdx=ln|sinx|+C。

（8）∫（tanx）^2dx=-x+tanx+C；∫（cotx）^2dx=-x-cotx+C。

（9）∫dx/（1±tanx）=1/2*（x±ln|cosx±sinx|）+C，∫dx/（1±cotx）=1/2*（x∓ln|sinx±cosx|）+C。

（10）∫dx/（1±secx）=x+cotx∓cscx+C；∫dx/（1±cscx）=x-tanx±secx+C。

（11）∫xsinxdx=sinx-xcosx+C；∫xcosxdx=cosx+xsinx+C。

最后是与反三角函数有关的几个积分公式：

（1）∫dx/（1+x^2）=arctanx+C=-arccotx+C。

（2）∫dx/√（1-x^2）=arcsinx+C=-arccosx+C。

（3）∫arcsinxdx=xarcsinx+√（1-x^2）+C，∫arccosxdx=xarccosx-√（1-x^2）+C。

（4）∫arctanx=xarctanx-1/2*ln（1+x^2）+C。

（5）∫arccotx=xarccotx+1/2*ln（1+x^2）+C。

当然，很少人能够一下子记住这么多公式。所以我们要有记忆的技巧，比如最后的反三角函数的原函数，都是x与它本身的积，再加上或减去它们的导数的分母部分，再加C。有些时候，我们还要运用后面学习的知识，自己来推导这些公式。

最合理的方法是把它们收藏起来，先记住最简单的那几个，以后需要的时候，再回头来查阅，可以为今后解题节省大量的时间。