证明f(x)=1-2/((2^x)+1)在R上是增函数

发布网友发布时间：2023-09-15 14:05

共3个回答

热心网友时间：2023-12-21 07:38

因为2^x+1在R上递增，且大于0恒成立
所以：2/(2^x+1)递减
所以：-2/(2^x+1)递增
所以：f(x)=1-2/((2^x)+1)在R上是增函数

ps：定义证明也行，不过麻烦了～
设：x1<x2,
[f(x1)-f(x2)]/2
=1/(2^x2+1)-1/(2^x1+1)
通分，得：
=(2^x1-2^x2)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
因为x1<x2.所以：2^x1<2^x2
易知分母大于0，
所以：
[f(x1)-f(x2)]/2<0
也就是：
f(x1)-f(x2)<0
按定义，这就是递增函数了～
ps:还是建议楼主用复合函数法，方便～

热心网友时间：2023-12-21 07:39

你还是高一的学生吧？这个问题如果用导数来做的话那是很容易的，
直接求f(x)'=2x*2^x/((2^x)+1)^2>0故f(x)是增函数。
还有一种方法就是用增函数的定义来做了，任取x1>x2，直接着差得：
f(x1)-f(x2)=2/((2^x2)+1)-2/((2^x1)+1)
=2*(2^x1-2^x2)/((2^x1)+1)((2^x2)+1)>0
所以它是增函数。

热心网友时间：2023-12-21 07:39

用复合函数的性质

2^x+1增
2/(2^x+1)减
f(x)=1-2/((2^x)+1)增