设x属于[0,2]时, 有|f(x)|<=1, |f''(x)|<=1, 证明对任意x属于[0,2]

发布网友发布时间：2023-09-23 21:17

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热心网友时间：2024-02-14 23:51

将函数f(x)在x=x0处展开成一阶泰勒级数，得
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+1/2f''(ξ)(x-x0)²
在任意点x∈[0,2]处展开成一阶泰勒级数，得
f(t)=f(x)+f'(x)(t-x)+1/2f''(ξ)(t-x)²
则
f(0)=f(x)-f'(x)x+1/2f''(ξ1)x² .①
f(2)=f(x)+f'(x)(2-x)+1/2f''(ξ2)(2-x)² .②
②-①，整理后，得
f'(x)=1/2f(2)-1/2f(0)-1/4f''(ξ2)(2-x)²+1/4f''(ξ1)x² .③
|f'(x)|≤1/2|f(2)|+1/2|f(0)|+1/4|f''(ξ2)|(2-x)²+1/4|f''(ξ1)|x²
≤1/2+1/2+1/4(2-x)²+1/4x²=2+1/2x(x-2)≤2 .④

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设x属于[0,2]时, 有|f(x)|&lt;=1, |f&#39;&#39;(x)|&lt;=1, 证明对任意x属于[0,2]

设x属于[0,2]时, 有|f(x)|<=1, |f''(x)|<=1, 证明对任意x属于[0,2]