探究一次函数y=mx+b(x属于R)的单调性,并证明你的结论
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发布时间：2023-09-23 20:30
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时间：2024-11-25 22:15
解：一次函数y=mx+b的单调性，
m/=0,b是常数，
一次项系数不为0，常数项b可以取遍所有实数，m/=0是常数，b是常数，
探究：1.m>0,则函数在R上式单调递增的，
2.m<0,函数在R上式单调递减的，
证明，（1）m>0
定义域x:R
(-无穷，+无穷）
在R中任取-无穷<x1<x2<+无穷1
f(x1)-f(x2)=mx1+b-(mx2+b)=mx1+b-mx2-b=mx1-mx2=m(x1-x2)<0
x1<x2,x1-x2<0,m>0,+-得-
差<0
f(x1)<f(x2)
对于定义域内任意的x1,x2,满足x1<x2,f(x1)<f(x2)
函数值得大小关系和自变量值得大小关系是一致的，
则f(x)在R上单调递增，
证明完毕
（2）m<0,f(x)在R上单调递减，
在R中任取x1,x2,满足x1<x2
f(x1)-f(x2)=(mx1+b)-(mx2+b)=mx1+b-mx2-b=mx1-mx2=m(x1-x2)
x1<x2,x1-x2<0,m<0,负负得正，m(x1-x2)>0
二者之差>0
则f(x1)>f(x2)
对于定义域内任意的两个自变量x1,x2满足x1<x2推出f(x1)>f(x2）
f(x)的大小关系和自变量的大小关系相反，
则f(x)在R上单调递减，
证明完毕，
综上所述，m>0,f(x)在R上单调递增，
m<0,f(x)在R上单调递减，
方法二：微积分法：
f(x)=mx+b,(m,b是常数，m/=0)
判断单调性的方法是对函数求导数，看导数的正负情况，
f'=（mx)'+b'=m+0=m,
m/=0
m>0orm<0,
当m>0是，f'=m>0,导数是个正常数，与自变量x无关，即无论自变量x取何值，f'=m>0恒成立，
即对于x:R,f‘=m>0,f’>0在一切实数集成立，
说明f(x)在实数集上单调递增，
当m<0时，f'=m<0,导数是个负常数，与自变量x无关，即无论自变量x取何实数，f'=m<0恒成立，即f'=m<0在R上恒成立，在实数集上导数<0,则在实数集上单调递减，
所以m>0,在R上单调递增，m<0在R上单调递减
