对一个已经给好所有数值的矩阵,如何快速求特征值?
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发布时间：2022-04-24 18:09
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时间：2023-10-30 09:43
对于n×n方阵A，令f(λ)=|λI-A|（I为n阶单位阵）则使得f(λ)=0的根即为矩阵A对应的特征值。
从特征值的定义式子可以看出特征值的求解过程就是解一元n次方程的过程。根据伽罗瓦理论知道五次以及五次以上方程是没有解公式的，因此一般题目都是会有几个能一眼看出的解然后利用高等代数多项式理论降次即可求解。
线性代数或者高等代数中矩阵特征值的求法都是固定的，需要注意的一点是狭义条件下下仅仅是方阵（行数等于列数）才有特征值的概念，如果是广义情况下最好查看研究生课程矩阵论内容。另外一般意义下的特征值求解是在复数域内求解，如果题目指定在规定数域内求解则按照题目要求。
扩展资料：
如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν
其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项。
若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。
参考资料：百度百科-特征值
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时间：2023-10-30 09:44
求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：首先计算的特征多项式，求出特征方程的全部根，即为的全部特征值，对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则属于特征值的全部特征向量。
求特征向量：设A为n阶矩阵，根据关系式Ax=λx，可写出(λE-A)x=0，继而写出特征多项式|λE-A|=0，可求出矩阵A有n个特征值（包括重特征值）。将求出的特征值λi代入原特征多项式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是对应的特征值λi的特征向量。
扩展资料
判断相似矩阵的必要条件
设有n阶矩阵A和B，若A和B相似（A∽B），则有：
1、A的特征值与B的特征值相同——λ(A)=λ(B)，特别地，λ(A)=λ(Λ)，Λ为A的对角矩阵。
2、A的特征多项式与B的特征多项式相同——|λE-A|=|λE-B|。
3、A的迹等于B的迹——trA=trB，其中i=1,2,…n（即主对角线上元素的和）。
4、A的行列式值等于B的行列式值——|A|=|B|。
5、A的秩等于B的秩——r(A)=r(B)。
因而A与B的特征值是否相同是判断A与B是否相似的根本依据。
矩阵可对角化有两个充要条件：
1、矩阵有n个不同的特征向量。
2、特征向量重根的重数等于基础解系的个数。对于第二个充要条件，则需要出现二重以上的重特征值可验证（一重相当于没有重根）。
参考资料来源：百度百科—特征值
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时间：2023-10-30 09:44
对于n×n方阵A，令f(λ)=|λI-A|（I为n阶单位阵）则使得f(λ)=0的根即为矩阵A对应的特征值。
从特征值的定义式子可以看出特征值的求解过程就是解一元n次方程的过程。根据伽罗瓦理论知道五次以及五次以上方程是没有解公式的，因此一般题目都是会有几个能一眼看出的解然后利用高等代数多项式理论降次即可求解。所以特征值的求解是没有捷径的，只能脚踏实地一步步计算而且要保证细心，否则矩阵的一个正负号搞错就很容易把计算变得很麻烦的。
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时间：2023-10-30 09:45
例1里T的秩是2，没有什么显然的途径看出T是幂零的
例2里A显然是秩1的，看一下trace(A)可以迅速得到A的特征值，但是这个例子并没有按我说的这种方式来阐述，一句”易得“多半还是硬算的意思
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时间：2023-10-30 09:45
