如何用导数证明对称轴为三次函数的对称轴?

发布网友 发布时间：2023-07-12 18:13

我来回答

共2个回答

热心网友 时间：2024-01-20 19:24

对称轴是指在坐标系中，一个图形对于该轴的对称。如果一个三次函数的图像关于某一条直线对称，则该直线就是该函数的对称轴。 

下面是用导数证明对称轴的过程：

首先，需要明确的是，三次函数的导数是二次函数。因此，如果我们能够证明该二次函数的对称轴是三次函数的对称轴，那么就可以得出结论。

假设我们现在有一个三次函数y=f(x)，其对称轴为x=a。那么，对于任意一组(x,y)，都有(2a-x,y)是一组点。

假设我们现在有一个点(x1,y1)，那么我们可以得到(2a-x1,y1)是另一组点。

对于这两组点，分别求出它们的斜率k1和k2：

k1=f'(x1)
k2=f'(2a-x1)

因为(x1,y1)和(2a-x1,y1)是对称的，所以k1=-k2。

带入k1和k2的表达式，得到：

f'(x1)=-f'(2a-x1)

因为f'(x)是一个二次函数，所以它的对称轴是x=a。

综上所述，我们证明了：如果三次函数y=f(x)的对称轴为x=a。

热心网友 时间：2024-01-20 19:24

求导最为简单，

三次函数的对称中心在函数上,横坐标为-b/3a,

证明：

f(x)=x³+ax²+bx+c

设两个点(-b/3a+t,f(-b/3a+t) ) ,(-b/3a-t,f(-b/3a-t) )

f(-b/3a+t)-f(-b/3a)=at^3+[3a*b^2/9a^2+2b*(-b/3a)+c]t
同理,

f(-b/3a-t)-f(-b/3a)=-at^3-[3a*b^2/9a^2+2b*(-b/3a)+c]t

故f(-b/3a+t)-f(-b/3a)=f(-b/3a-t)-f(-b/3a)

故以(-b/3a,f(-b/3a) )为对称中心。

扩展资料：

三次函数极值计算

其导数为

易证当

有两个不相等的实数根时，f(x)具有极大值和极小值。而当

有两个相等的实数根或没有实数根时，f(x)不具有极值。

若f(x)有极值，设在

和

处取得，则满足关系式

，因此以下用

来介绍两种求三次函数极值的方法。

代入原方程法

该方法为高中学生必须掌握的方法，即通过解方程，将所得解x1与x2代入f(x)中得到极值。

解

得

因此极大值：

极小值：

该方法简洁明了，但存在一个问题，即如果解出来的x1与x2十分复杂（如含有根式，或数字较大等），代入f(x)中计算乘方将是一件不容易的事。

参考资料来源：百度百科—三次函数