U,V服从N(0,1)且相互独立,求X(t)=Ut+Vt^2的一维概率密度函数

发布网友发布时间：2023-07-12 15:16

共2个回答

热心网友时间：2023-07-15 20:17

下面给出求X概率密度的标准步骤。U及V的概率密度分别为：fu(u)=[1/√(2π)]e^[(u^2)/2]、fv(v)=[1/√(2π)]e^[(v^2)/2]；由于U、V相互独立，所以U、V的联合概率密度为f(u，v)=fu(u)fv(v)；设X的分布函数为Fx(x)，则当t＞0时，Fx(x)=P｛X≦x｝=P｛Ut+Vt^2≦x｝=∫(-∞→+∞)dv∫(-∞→x/t-vt)f(u，v)=∫(-∞→+∞)dvfv(v)∫(-∞→x/t-vt)fu(u)，令u=ξ/t-vt，=dξ/t，所以∫(-∞→x/t-vt)fu(u)=∫(-∞→x)dξ/tfu(ξ/t-vt)，所以Fx(x)=∫(-∞→+∞)[(1/t)∫(-∞→x)fu(ξ/t-vt)dξ]fv(v)dv=∫(-∞→x)[∫(-∞→+∞)(1/t)fu(ξ/t-vt)fv(v)dv]dξ，根据概率密度的定义，X的概率密度fx(x)=dFx(x)/dx，所以fx(x)=∫(-∞→+∞)(1/t)fu(x/t-vt)fv(v)dv(将方括弧内的ξ换作x即可)，将U、V的概率密度代入并整理得fx(x)=[1/(2πt)]e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝∫(-∞→+∞)e^｛-[√(1+t^2)v-x/√(1+t^2)]^2/2｝dv，令η=[√(1+t^2)v-x/√(1+t^2)]/√2，则fx(x)=[1/(2πt)]e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝√[2/(1+t^2)]∫(-∞→+∞)e^(-η^2)dη，∫(-∞→+∞)e^(-η^2)dη=√π，所以fx(x)=｛1/[√(2π)t√(1+t^2)]｝e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝①；当t＜0时，用同样的方法可得fx(x)=｛1/[√(2π)(-t)√(1+t^2)]｝e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t^2]｝②；所以可统一合并为fx(x)=｛1/[√(2π)|t|√(1+t^2)]｝e^｛-(x^2)/[2(1+t^2)t2]｝③，③式即为t≠0时X的概率密度，可见这时X服从均值为0、方差σ^2=(1+t^2)t^2的正态分布；当t=0时，σ^2=0，X依概率1取常数0。

热心网友时间：2023-07-15 20:18

X(t) 对固定的t 还是正态分布且方差为Var(X(t))=t^2Var(U)+t^4Var(V)=t^2+t^4
所以X(t)的概率密度函数为 f(t,x)=（1/2π√(t^2+t^4)）e^(-x^2/2(t^2+t^4))