常数项无穷级数的定义

发布网友发布时间：2023-07-12 07:42

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热心网友时间：2024-01-13 01:10

常数项无穷级数的定义如下：

1、常数项无穷级数：

设有无穷数列{an}，即a1，a2，a3....an将它的各项依次用加号连接起来的表达式a1+a2+a3+....an+...称为常数项无穷级数。简称无穷级数或级数。其中第n项an称为该级数的一般项或通项。

2、级数的部分和：

级数的前n项之和记为 Sn。即 Sn=a1+a2+...an=∑k=1nak 。

3、收敛和发散：

如果部分和数列{Sn}有极限S，即存在数S，使得 limn→∞Sn=S 成立。则称该级数收敛，其和为S，记作 ∑n=1∞an=S ，否则称该级数发散。等比级数，当|q|＜1时收敛，其和为 a1−q ；当|q|≥1时发散。调和级数 ∑n=1∞1n 发散。

4、基本性质：

级数收敛的必要条件：

若∑n=1∞an收敛，则必有 limn→∞an=0

论：若 limn→∞an≠0 （包括 limn→∞an 不存在的情形），则∑n=1∞an发散。

线性性质：

设收敛级数 ∑n=1∞an=A ， ∑n=1∞bn=B ，则对于任一常数λ和μ，级数 ∑n=1∞(λan+μbn) 也收敛，且其和为 λA+μB 。

常数项无穷级数推论法则：

推论1：若级数和∑n=1∞an和∑n=1∞bn 均收敛，则 ∑n=1∞(an±bn)=∑n=1∞an±∑n=1∞bn

推论2：若级数 ∑n=1∞an 收敛，则 ∑n=1∞bn 和 ∑n=1∞(an±bn) 同敛散性。

推论3：对于任意非零常数λ，级数 ∑n=1∞an 和 ∑n=1∞λan 同敛散性。

推论4：级数 ∑n=1∞an 和 ∑n=N+1∞an 的敛散性相同（其中N为正整数）；推论：在给定的级数中去掉、增加或更换有限项，其收敛性不变。

推论5：收敛级数的可结合性：对收敛级数的项任意加括号后得到的新级数仍然收敛，且与原级数有相同的和。推论：若加括号后所成的级数发散，则原级数发散。

级数 ∑n=1∞an 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在正整数N，使得当n＞N时，对一切正整数p，恒有{ an+1+an+2+...an+p }＜ε。

以上数据出自杨家俊。