设A B为n阶方阵,且存在可逆矩阵P,使得B=P^-1AP,证明:(1)A B有相同的
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发布时间：2023-07-12 08:02
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时间：2024-12-05 17:00
|kB-E|
=|kP^-1AP-E|
=|P^-1(kA)P-P^-1(E)P|
=|P^-1(kA-E)P|
=|P^-1||kA-E||P|
=|kA-E|
因此，A，B特征多项式相等，因此有相同特征值
（2）
由（1）过程，得知
kB-E=P^-1(kA-E)P
即kB-E与kA-E等价
则r(kB-E)=r(kA-E)
而方程组（kA-E）X=0
特征值k的特征子空间的维数，即该方程组基础解系中向量个数是n-r(kA-E)
方程组（kB-E）X=0
特征值k的特征子空间的维数，即该方程组基础解系中向量个数是n-r(kB-E)
显然有n-r(kA-E)=n-r(kB-E)
即A B相同特征值的特征子空间的维数相等
