轨迹方程的典型例题
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发布时间：2022-04-24 14:03
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时间：2023-10-15 14:18
典型例题
例1、已知Q点是双曲线上异于二顶点的一动点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，从F2点向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P点，求P点的轨迹方程.
分析：注意图形的几何性质，联想到双曲线的定义，可考虑用定义法求轨迹方程.
解答：如图，连结OP，则由角平分线的性质，
得|AQ|=|F2Q|.
由三角形中位线性质，得.
.
（若点Q在双曲线的左支上时，应为）.
即.∴P点轨迹方程即为.
例2、设动圆C的对称轴平行于坐标轴，长轴长为4，且以y轴为左准线，左顶点A在抛物线y2=x-1上移动，求这些椭圆的中心C的轨迹方程.
分析：A点和C点是一对相关点，设法将A点的坐标用C点坐标表达，用相关点法求C的轨迹方程.
解答：设中心C的坐标（x,y），则A的坐标为（x-2,y），又A在抛物线y2=x-1上移动.
∴y2=(x-2）-1，即y2=x-3，此即所求C的轨迹方程.
另外，问题也可用参数法求解.
∵左顶点A在抛物线y2=x-1上移动，
∴设A(t2+1,t)(t为参数）.
∵y=yA=t，①
∵2a=4，∴a=2，∴x=xA+2=t2+3. ②
由①、②消去参数t，得中心C的轨迹方程是y2=x-3.
例3、如图，P是抛物线C：上一点，直线l过点P且与抛物线C交于另一点Q.若直线l与过点P的切线垂直，求线段PQ中点M的轨迹方程.
分析：这是2004年全国高考题（福建卷）理科的压轴题，依题意直线l的方程可用P的横坐标表达，于是选择以P的横坐标为参数，用参数法求解动点M的轨迹方程.
解答：设P(x1,y1），M(x0,y0），其中x1≠0.
由，①
由，∴过点P的切线的斜率k切=x1,
∴直线l的斜率，
直线l的方程为 ②
联立①②消去y，得.
∵M为PQ的中点，∴
消去x1，得.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
另外，此题属中点弦的问题，可考虑用点差法来处理.探求x0与x1的关系.
设P2(x2,y2），于是由.
得，
则，
将上式代入②并整理，得.
∴PQ中点M的轨迹方程为.
例4、已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移动，且，P为GE与OF的交点（如图）.问是否存在两个定点，使P到这两点的距离的和为定值?若存在，求出这两点的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.
分析：这是一道探索性问题，首先求出P点坐标满足的方程，再根据此判断是否存在两定点，使P到两定点的距离之和为定值.鉴于P为两直线GE和OF的交点，可用交轨法求解P的轨迹方程.
解答：以O为原点，AB所在直线为x轴建立如图的直线坐标系.
按题意有A(-2,0),B（2,0),C（2,4a),D(-2,4a).
设（0≤k≤1），
由此有E（2,4ak),F（2-4k,4a),G(-2,4a-4ak).
直线OF的方程为：2ax+（2k-1）y=0，①
直线GE的方程为：-a（2k-1）x+y-2a=0，②
从①，②消去参数k，得点P(x,y）坐标满足方程2a2x2+y2-2ay=0,
整理得.
当时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在符合题意的两点.
当时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点P到该椭圆焦点的距离和为定长.
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值.
当时，点P到椭圆两个焦点的距离之和为定值2a.
例5、动直线l过定点A（2,0），且与抛物线y=x2+2相交于不同的两点B和C，点B和C在x轴上的射影分别是B′和C′（如图），P是线段BC上的点，并满足关系式|BP|∶|PC|=|BB′|∶|CC′|，求POA的重心G的轨迹方程.
分析：本题是一道较复杂的轨迹综合题，动点G的位置取决于P点的位置，即P是G的相关点，又P在动直线l上，l绕定点A（2,0）而动，依前所述，选用斜率k为参数较合理，又相应点P在运动时，还要满足这一比值，这又出现了另一参数λ，为多元参数.
解答：设直线l的斜率为k，显然l与x轴垂直时，l与抛物线不可能有两个交点，故l的方程为y=k(x-2） .将它与抛物线方程联立，消去y得x2-kx+2+2k=0.
此方程有两个不同实根的充要条件是=k2-4（2+2k)=k2-8k-8=0.
解得，或. ①
设B、C两点的坐标为（x1,y1），（x2,y2），则x1+x2=k,x1x2=2+2k. ②
令③设，依定比分点公式，有④设动点G的坐标为（x,y），则将④、③、②分别代入上式并注意到，
可得 消去k得12x―3y―4=0.
另外，由可得，代入①，得，或.
解之得（并注意到y≠4）.，若.
因此，POA的重心G的轨迹方程为12x-3y-4=0.
其中.
它表示一条除去端点及其点的线段.
点评：解决本题时，应充分注意所求轨迹方程中y的取值范围，这是最容易出现失误的，甚至可能发生根本不去求出k的范围，而误认为所求的轨迹方程为12x-3y-4=0.
例6、如图所示，给出定点A(a,0）和直线l:x=-1,B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.
分析一：借助交轨法和参数法，并利用角平分线上一点到角的两边的距离相等的性质解题.
解答一：依题意，记B(-1,b),(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0或y=-bx，设点C(x,y），则有0≤x据点到直线的距离公式可得. ①
由于点C在直线AB上，故有.
由x-a≠0，得. ②
将②代入①得.
整理，得，
若y≠0，则（1-a)x2-2ax+（1+a)y2=0(0若y=0，则b=0，∠AOB=π，点C的坐标为（0,0），满足上式.
综上得点C的轨迹方程为（1-a)x2-2ax+（1+a)y2=0(0≤x⑴当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x<1），此时，方程表示抛物线弧段.
⑵当a≠1时，轨迹方程化为.
所以，当0当a>1时，方程表示双曲线一支的弧段.
分析二：借助两倍角的正切公式解题.
解答二：如图所示，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x,E是垂足.
⑴当|BD|≠0时，设点C(x,y），则0由CE//BD，得.
∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD，又2∠COA=π-∠BOD.
∴.
整理，得.
⑵当|BD|=0时，∠BOA=，则点C的坐标为（0,0），满足上式.
综合⑴、⑵，得点C的轨迹方程为（1-a)x2-2ax+（1+a)y2=0(0以下同解法一.
分析三：由于C、A、B三点在一直线上，而A、B在特殊直线上，故可构造定比分点公式模型解决本题.
解答三：设C(x,y），其中0≤x∵OC平分∠AOB，∴，从而，
由定比分点公式 即
分别用b2、代入有，
化简得.
以下同解法一.
点评：对于本题给出的三种解法，实质上是分别从三种不同的角度去审视问题的结果.这同时也表明，即使是一个较难的问题，只要我们深入地挖掘问题的各种知识背景，就完全有可能找出一个个异彩纷呈的解法，从而由此提高综合分析问题与解决问题的能力以及增强解题的创新意识.
总之，在解决求解轨迹方程问题时，要重视基该方法的综合运用，要有意识地去观察图形的几何性质，要合理地去选择参数，还应特别留意轨迹的完备性和纯粹性.
巩固练习
⒈一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹是()
A.圆B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线
⒉已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A（1,0）及点P的直线m和直线l交于Q，求点Q的轨迹方程.
⒊如图，设点A和B为抛物线y=4px(p>0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程.
⒋已知椭圆直线l:.P是l上一点.射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.
参*：
⒈C
⒉
⒊x2+y2-4px=0(x≠0)
⒋点Q的轨迹方程为（其中x,y不同时为零），其轨迹是以（1,1）为中心，长短半轴分别为和且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点.
数学应用题的解题方法
应用问题是考查应用数学意识和能力的极好题型，它题材贴近生活，涉及知识面广，题型功能丰富，增加应用性与能力性试题是高考改革的方向，解决实际问题的应用题已成为高考的热点.
解答应用问题就是在阅读材料，理解题意的基础上，把实际问题抽象转化成数学问题，建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、研究，得到数学答案，然后再把数学答案返回到实际问题中去，获取具有实际意义的结论，求解数学应用问题的思路和方法，可以用示意图表示为：
下面就应用题常见的数学模型举一些实例，以求开阔同学们的思维，受到一些启示.
⒈建立函数模型
例1、某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地，四周有小路，绿地长边外小路宽为5米，短边外小路8米（如图）.绿地长边至多长28米，至少长20米.对于给定的a（300≤a≤700），怎样设计绿地的长宽使绿地和小路总占地面积最小?
分析：引入长边长为自变量x，建立关于总占地面积的目标函数x，再利用函数性质和不等式知识求解.
解答：设绿地的长边为x米（x>0），则短边为米，且.总占地为S平方米.
当且仅当，即时，上式中等号成立，满足等号成立的充要条件为：
即250≤a≤490.又依条件300≤a≤700.
故⑴当300≤a≤490，即时,S有最小值，此时长为，宽为米.
⑵当490≤a≤700时，设.
.
这是因为20≤x≤28,a>490，使得28-x≥0,16a>7840≥280x的缘故.
因此，当x=28时，S有最小值，并注意到此时.
点评：求解函数模型经常要用到不等式的知识，有两点特别值得注意，一是函数自变量范围应在实际意义下考虑；二是在利用均值不等式求函数最值时，必须要检验等号是否能够成立.
例2、制定投资计划时，不仅考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.
某投资人打算投资甲、乙两个项目.根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元.问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大?
分析：这是今年江苏高考试题，可将总盈利z表达成甲、乙两个项目的投资额x、y的目标函数z(x、y），问题就转化为在x、y约束条件（不等关系）的最值问题，可借助线性规划知识求解.
解答：设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，
由题意知，
目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.
作直线l0:x+0.5y=0，并作平行于直线l0的直线x+0.5y=z(z∈R），与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线x+0.5y=0的距离最大.这里M点是直线x+y=10和0.3x+0.1y=1.8交点.
解方程组，得x=4,y=6.
此时z=4+0.5*6=7（万元）.∴当x=4,y=6时，z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目，6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大.
点评：这是一道线性规划问题，是运筹学中最基础的内容，可用中学知识求解.一般采用的方法有目标函数分析法和图解法.学生在解决这类问题时的主要困难之处在于不会把约束条件中的多个等式或不等式与所求目标沟通起来，关于简单线性规划问题，高中数学新教材中已增加了此项内容，我们在复习过程中应给予一定的重视.
⒉建立数列模型
例3、某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆?
分析：引入新增汽车数量为未知数，以各年末的汽车保有量为项建立数列模型，借助数列知识求解.
解答：2001年末汽车保有量为b1万辆，以后各年末汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，…，每年新增汽车x万辆，则：
b1=30,b2=b1*0.94+x.
对于n>1，有bn+1=bn*0.94+x=bn-1*0.94x2+（1+0.94）x,
……
当，即x≤1.8时，bn+1≤bn≤…≤b1=30.
当，即x>1.8时，.
并且数列{bn}逐项增加，可以任意靠近.
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即bn≤60(n=1,2,3，…）.
则，即x≤3.6（万辆）.
综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.
评注：求数列的通项是解决问题的关键，对于递推式bn+1=bn*0.94+x，也可作如下化归处理：
另外还应有一点极限知识才行.
例4、为了保护三峡库区的生态环境，凡是坡度在25°以上的坡荒地都要绿化造林，经初步统计，在三峡库区坡度大于25°的坡荒地面积约有2640万亩，若从2003年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩.
⑴若所有被绿化造林的坡荒地全部绿化成功，问到哪一年底可使库区的坡荒地全部绿化?
⑵若每万亩绿化造林所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然增长率为20%，那么当整个库区25°以上荒地全部绿化完的那一年底，一共有木材多少万立方米?（保留1位小数，1.29=5.16,1.28=4.30）
分析：每年绿化面积成一等差数列，某年的造林量所形成的以后各年的木材量成一等比数列.
解答：⑴设a1=120,d=60，第n年后可以使绿化任务完成.则有
.
解得n≥8.故到2010年，可以使库区为25°以上的坡地全部绿化.
⑵∵2010年初造林数量为：a8=120+7*60=540（万亩）,
设到2010年木材总量为S，依题意有：
令⑴
两边乘以1.2得⑵
⑵-⑴得，∴S=6*90.6=543.6（万立方米）
答：到2010年底共有木材543.6万立方米.
点评：解决与数列有关的应用问题，要仔细弄清题意，搞清是等差数列还是等比数列的问题，是求某一项还是求和的问题以及项数是多少等等，然后根据有关结论进行计算证明.
⒊建立几何模型
例5、A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B的正东，相距6km,C在B的北偏西30°方向上，相距4km,P为敌炮阵地.某时刻A地发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A地距离P较远，因此4秒钟后，B、C才同时发现这一信号（已知该信号的传播速度为每秒1km),A若炮击P地，求炮击的方位角.
分析：问题的关键是要确定P点的位置，注意到P点满足的条件|PB|-|PA|=4，且|PB|=|PC|，联想到双曲线的定义和中垂线的性质，可通过建立坐标系，用解析几何模型求解.
解答：如图，以线段AB的中点为原点，BA所在的直线为x轴建立直角坐标系，则A（3,0),B(-3,0),C(-5,).
∵|PB|-|PA|=4，∴点P在以A、B为焦点的双曲线的右支上.
该双曲线右支的方程是. ①
又|PB|=|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上，该直线的方程为.②
将②代入①得11x2-56x-256=0，得x=8或（舍），于是可得.
又.
故点P在点A的北偏东30°方向上，即A地炮击P地的方位角是北偏东30°.
例6、现有一放置乒乓球的圆柱形桶，其内径为（cm），高为40cm，则该桶内最多可放置多少个直径为4cm的乒乓球?
分析：要解决本例，需要两个工作，一是计算桶内一层可放置乒乓球多少个?它应该通过桶的内径与乒乓球的直径，及第一层乒乓球在底面上的射影等数据与几何特性进行计算；二是计算桶内最多可放置多少层球?计算第二个问题的关键是如何求出两层乒乓球球心所在平面之间的距离，应根据从相邻两层球的球心提炼出球心所组成的几何体，将计算转移到该几何体中进行.
解答：首先建立如图1所示的几何模型，其中⊙O1、⊙O2、⊙O3为三个半径均为2cm且两两外切的圆，这三个圆又都内切于⊙O，显然O1O2O3是边长为4cm的正三角形，它的高为，∴，若⊙O2与⊙O相切于P，则.
故圆O的半径为，∴其直径为（cm），因此在内径为cm的桶内层可放置3个直径为4cm乒乓球.
在桶内放置第二层球时，为了使放置的乒乓球尽可能多，因此在放置第二层球时可以考虑利用第一层乒乓球放置后留下的空档，故应将第二层的三个球放置的位置相对于第一层的三个乒乓球的位置逆时针（或顺时针）旋转60°.这二层六个乒乓球的球心可以看作是如图2所示的正六棱柱下底面上的三顶点A1、B1、C1与上底面上的三个顶点A2、B2、C2，并且A2B2=4cm，从而我们可以求出这个正六棱柱的底面边长和高.
设正六棱柱的底面边长和高分别为x、h，则A2B22=x2+x2-2x2cos120,
.
又.
这样我们就求得了二层乒乓球的球心所在平面间的距离，若设这个桶内放置了n层的乒乓球，则n应满足：.
，
又由于，故（n-1）≤11，∴n≤12.
所以这桶内最多可放置12层乒乓球，每层有3个，故这个桶内最多可放置36个乒乓球.
点评：本例我们建立了两个几何换型，关键是建立了桶内相邻两层球中每一个球的球心及它们在另一层球心所在平面上的射影共12个点组成的一个正六棱柱（如图2）这一几何模型.
除了上述列举的三种常用应用题型外，还有三角型，排列组合型，概率型等其它模型，学习过程中应多思多想，加强归纳总结，善于抓住主干，合理构建数学模型，不断提高数学的应用意识和应用能力
