如例2,为什么和其他两个特征向量正交的向量
发布网友
发布时间：2023-07-06 11:15
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热心网友
时间：2024-10-16 04:39
特征值
对应的
特征向量
是相互正交的。证明如下：
设λ1,λ2是两个A的不同特征值，α1,
α2分别是其对应的特征向量，有
A
*
α1
=
λ1
*
α1,
A
*
α2
=
λ2
*α2
分别取
转置
，并分别两边右乘α2和α1，得
α1'
*
A'
*
α2
=λ2
*
α1'
*
α2,
α2'
*
A'
*
α1
=λ1
*
α2'
*
α1
对应相减并注意到α2'
*
A'
*
α1=（α2'
*
A'
*
α1)'=
α1'
*
A'
*
α2
所以
(λ1
-
λ2)
α1'
*
α2
=
α1'
*
A'
*
α2
-
α2'
*
A'
*
α1
=
α1'
*
A'
*
α2
-
α1'
*
A'
*
α2
=0
而
λ1
-
λ2≠
0，因此
α1'
*
α2
=
0
即
α1与α2
正交。
热心网友
时间：2024-10-16 04:39
r(a-e)
=
1
所以属于特征值1的线性无关的特征向量有
n-r(a)
=
3-1
=
2
个
写出对应的方程
x1-x2-x3
=
0
(1,1,0)^t
是解
与它正交的解应该是
(1,-1,
x)^t,
代入方程得
1+1-x
=
0
得
x
=
2
这就得到了正交的基础解系,
避免了正交化过程
