为什么三角形三条垂直平分线交于一点用全等三角形什么?

发布网友发布时间：2023-07-08 23:44

共1个回答

热心网友时间：2023-07-12 06:26

三角形三条垂直平分线交于一点，这个点称为三角形的垂心。证明三角形三条垂直平分线交于一点可以用全等三角形定理。
首先，我们可以证明垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等。假设点P是三条垂直平分线的交点，分别记AP、BP、CP为三角形ABC三边的垂直平分线。则有：
AP=PB （垂直平分线的定义）
BP=PC （垂直平分线的定义）
因此，AP=PB=PC，即点P到三角形三个顶点的距离相等。
接着，我们可以证明：以垂心为顶点，分别过三个顶点作垂线，则这三条垂线所在的直线分别平分对边。
设垂心为点H，分别过A、B、C三个顶点作垂线，交对边BC、CA、AB于D、E、F，则有：
AH ⊥ BC，DH ⊥ BC，所以AHDH为矩形，因此AD=HD。
同理，BH ⊥ AC，EH ⊥ AC，所以BHEC为矩形，因此BE=HE。
CH ⊥ AB，FH ⊥ AB，所以CHFH为矩形，因此CF=HF。
因此，我们得到了三个等式AD=HD，BE=HE，CF=HF。因此，从对边中心D、E、F到垂心H的距离相等，即DH=EH=FH。
现在，我们可以利用全等三角形定理证明三角形三条垂直平分线交于一点。根据上述结论，我们可以得到三个等腰三角形ADB、BEC和CAF，它们共顶点H，底边分别为AD、BE、CF，且AD=HD，BE=HE，CF=HF。因此，这三个三角形全等，即ADB ≌ BEC ≌ CAF。
由于三角形ADB ≌ BEC ≌ CAF，因此，这些三角形的内角度数相等，即∠A = ∠B = ∠C。因此，三角形ABC是等腰三角形，即三角形的三条垂直平分线交于一点。
综上所述，我们证明了三角形三条垂直平分线交于一点可以用全等三角形定理。